Zadanie 1.1.1

Wykaż, że jeżeli od liczby trzycyfrowej odejmiemy sumę jej cyfr, to otrzymamy liczbę podzielną przez 9.

Rozwiązanie

Zdefiniujmy zmienne:
\(x\) — liczba setek danej liczby
\(y\) — liczba dziesiątek danej liczby
\(z\) — liczba jednostek danej liczby
\(w\) — wynik dzielenia liczby \(xyz\) przez 9

Liczby \(x, y, z\) są z zakresu od 0 do 9, a liczba \(w\) jest dowolną liczbą całkowitą: \(w \in \mathbb{C}\). Równanie opisujące treść zadania jest następujące:
$$ 100x + 10y + z – (x + y + z) = w $$

Jeśli różnica ta ma być liczbą podzielną przez 9, to liczba \(w\) musi by wielokrotnością liczby 9.

Przekształcamy równanie:
$$
\begin{array}{rl}
& 100x + 10y + z – (x+y+z) = \\
&= 100x + 10y + z – x – y – z = \\
&= 99x + 9y = \\
&= 9(11x + y) \\
& \textit{Quod erat demonstrandum}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Ponieważ w wyniku przekształceń otrzymaliśmy liczbę \(9(11x + y)\), która jest wielokrotnością liczby 9, to spełniliśmy założenia nałożone nam przez treść zadania.

You may also like...

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *