Zadanie 1.1.1

Wykaż, że jeżeli od liczby trzycyfrowej odejmiemy sumę jej cyfr, to otrzymamy liczbę podzielną przez 9.

Rozwiązanie

Zdefiniujmy zmienne:
\(x\) — liczba setek danej liczby
\(y\) — liczba dziesiątek danej liczby
\(z\) — liczba jednostek danej liczby
\(w\) — wynik dzielenia liczby \(xyz\) przez 9

Liczby \(x, y, z\) są z zakresu od 0 do 9, a liczba \(w\) jest dowolną liczbą całkowitą: \(w \in \mathbb{C}\). Równanie opisujące treść zadania jest następujące:
$$ 100x + 10y + z – (x + y + z) = w $$

Jeśli różnica ta ma być liczbą podzielną przez 9, to liczba \(w\) musi by wielokrotnością liczby 9.

Przekształcamy równanie:
$$
\begin{array}{rl}
& 100x + 10y + z – (x+y+z) = \\
&= 100x + 10y + z – x – y – z = \\
&= 99x + 9y = \\
&= 9(11x + y) \\
& \textit{Quod erat demonstrandum}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Ponieważ w wyniku przekształceń otrzymaliśmy liczbę \(9(11x + y)\), która jest wielokrotnością liczby 9, to spełniliśmy założenia nałożone nam przez treść zadania.