Zadanie 1.1.2

Udowodnij, że liczba \(5^{23} – 6^{125}\) jest podzielna przez 20.

Rozwiązanie

Przekształcamy potęgi, aby otrzymać liczbę będącą wielokrotnością liczby 20.
$$
\begin{array}{rl}
5^{23} – 125^7 =& 5^{23} – (5^3)^7 = \\
=& 5^{21} \cdot 5^2 – 5^{21} = \\
=& 5^{21}(25 – 1) = \\
=& 5^{21} \cdot 24 = \\
=& 5^{20} \cdot 5 \cdot 24 = \\
=& 120 \cdot 5^{20} = \\
=& 20 \cdot 6 \cdot 5^{20} \\
& \textit{Quod erat demonstrandum}
\end{array}
$$

Odpowiedź

W wyniku przekształceń otrzymaliśmy liczbę będącą wielokrotnością liczby 20, więc spełniliśmy założenia zadania.