Zadanie 1.1.2

Udowodnij, że liczba \(5^{23} – 6^{125}\) jest podzielna przez 20.

Rozwiązanie

Przekształcamy potęgi, aby otrzymać liczbę będącą wielokrotnością liczby 20.
$$
\begin{array}{rl}
5^{23} – 125^7 =& 5^{23} – (5^3)^7 = \\
=& 5^{21} \cdot 5^2 – 5^{21} = \\
=& 5^{21}(25 – 1) = \\
=& 5^{21} \cdot 24 = \\
=& 5^{20} \cdot 5 \cdot 24 = \\
=& 120 \cdot 5^{20} = \\
=& 20 \cdot 6 \cdot 5^{20} \\
& \textit{Quod erat demonstrandum}
\end{array}
$$

Odpowiedź

W wyniku przekształceń otrzymaliśmy liczbę będącą wielokrotnością liczby 20, więc spełniliśmy założenia zadania.

You may also like...

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *