Zadanie 1.2.1

Rozwiąż równianie

$$ \frac{x-1}{2x} \log 9 + 2 \log 2 = \log \left (27 + 9^{-\frac{1}{x}} \right ) $$

Rozwiązanie

Stosując znane własności potęg i logarytmów, wykonujemy kolejne przekształcenia:
$$
\begin{array}{rl}
\frac{x-1}{2x} \log 9 + 2 \log 2 =& \log \left [27 + 9^{\left ( -\tfrac{1}{x} \right )} \right ] \\
\log 9^{\tfrac{x-1}{2x}} + \log 4 =& \log \left [27 + 3^{2 \left (-\tfrac{1}{x} \right )} \right ] \\
\log \left [3^{\tfrac{2(x-1)}{2x}} \cdot 4 \right ] =& \log \left [27 + 3^{2 \left (-\tfrac{1}{x} \right )} \right ] \\
3^{\tfrac{x-1}{x}} \cdot 4 =& 27 + 3^{2 \left (-\frac{1}{x} \right )} \\
3^{\left (1 – \tfrac{1}{x} \right )} \cdot 4 =& 27 + 3^{2 \left (-\tfrac{1}{x} \right )} \\
3 \cdot 3^{\left (-\tfrac{1}{x} \right )} \cdot 4 =& 27 + 3^{2 \left (-\tfrac{1}{x} \right )} \\
12 \cdot 3^{\left (-\tfrac{1}{x} \right )} =& 27 + 3^{2 \left (-\tfrac{1}{x} \right )}
\end{array}
$$

W tym momencie do równania podstawiamy pomocniczą niewiadomą \(t\).
$$ 3^{\left ( -\tfrac{1}{x} \right ) } = t $$

Otrzymujemy równanie kwadratowe:
$$
\begin{array}{rl}
12 \cdot t =& 27 + t^2 \\
t^2 – 12t + 27 =& 0 \\
\end{array}
$$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem niewiadomej \(t\).
$$
\begin{array}{rl}
\Delta =& b^2 – 4ac = (-12)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 27 =\\
=& 144 – 108 = 36 \\
t_1 =& \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{12 – 6}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\
t_2 =& \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9
\end{array}
$$

Teraz wracamy do niewiadomej \(x\).
$$
\begin{array}{rlcrl}
3^{\left (-\tfrac{1}{x_1} \right )} &= 3 & ~~~~~~ & 3^{\left (-\tfrac{1}{x_2} \right )} &= 9 \\
3^{\left (-\tfrac{1}{x_1} \right )} &= 3^1 & ~~~~~~ & 3^{\left (-\tfrac{1}{x_2} \right )} &= 3^2 \\
-\frac{1}{x_1} &= 1 & ~~~~~~ & -\frac{1}{x_2} &= 2 \\
x_1 &= \mathbf{\underline{-1}} & ~~~~~~ & x_2 &= \mathbf{\underline{-\frac{1}{2}}}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Rozwiązaniem równania są liczby \(-1\) i \(-\frac{1}{2}\).