Wyznacz wartość parametru \(a\), dla której równanie \(2x^2 + 2x – log_2 a = 0\) ma jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie

Założenie: \(a > 0\).

Zapisujemy warunek jaki musi być spełniony, aby równanie kwadratowe miało jedno rozwiązanie.
$$
\begin{array}{rcl}
\Delta &=& 0 \\
2^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-log_2 a) &=& 0 \\
4 + 8~log_2 a &=& 0 \\
8~log_a 2 &=& -4 ~~ /:8 \\
log_2 a &=& -\frac{1}{2} \\
a &=& 2^{-\tfrac{1}{2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\tfrac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Warunek zadania zostanie spełniony dla \(a = \frac{\sqrt{2}}{2}\).