Zadanie 1.2.3

Niech \(m = log_{21} 7\). Wykaż, że \(log_7 27 = \frac{3(1-m)}{m}\).

Rozwiązanie

Najpierw przekształcamy prawą stronę równania.
$$
\frac{3(1-m)}{m} = \frac{3}{m} – 3
$$

Następnie podstawiamy wartość parametru \(m\) i przekształcamy równanie logarytmiczne do osiągnięcia zakładanej równości.
$$
\begin{array}{rcl}
log_7 27 &=& \frac{3}{log_{21} 7} – 3 \\
log_7 27 &=& \frac{3}{\tfrac{1}{log_7 21}} – 3 \\
log_7 27 &=& 3~log_7 21 – 3 \\
log_7 27 &=& 3~log_7 21 – log_7 7^3 \\
log_7 27 &=& log_7 \frac{21^3}{7^3} \\
27 &=& \left(\frac{21}{7}\right)^3 \\
27 &=& 3^3 \\
27 &=& 27 \\
&& \textit{Quod erat demonstrandum}
\end{array}
$$