Zadanie 1.2.4

Uzasadnij, że nierówność \(\frac{1}{log_3 4} + log_8 4\sqrt{3} \lt 2 \) jest prawdziwa.

Rozwiązanie

Na początek zajmiemy się przekształcaniem lewej strony nierówności.
$$
\begin{array}{rl}
\frac{1}{log_3 4} + log_8 4\sqrt{3} =& log_4 3 + log_8 4\sqrt{3} = \\
=& log_4 2 \cdot log_2 3 + log_8 2 \cdot log_2 4\sqrt{3} = \\
=& \frac{1}{2} log_2 3 + \frac{1}{3} log_2 4\sqrt{3} = \\
=& \frac{3}{6} log_2 3 + \frac{2}{6} log_2 4\sqrt{3} = \\
=& \frac{1}{6} log_2 3^3 + \frac{1}{6} log_2 (4\sqrt{3})^2 = \\
=& \frac{1}{6} \left[ log_2 \left(3^3 \cdot 4^2 \cdot 3 \right) \right] = \\
=& \frac{1}{6} \left[ log_2 \left(3^4 \cdot 2^4 \right) \right] = \\
=& \frac{1}{6} log_2 6^4 = \\
=& log_2 6^{\frac{2}{3}}
\end{array}
$$

W tym miejscu wracamy do początkowej nierówności i dowodzimy jej prawdziwość.
$$
\begin{array}{rcl}
log_2 6^{\frac{2}{3}} &<& 2 \\ log_2 6^{\frac{2}{3}} &<& log_2 4 \\ 6^{\frac{2}{3}} &<& 4 \\ \sqrt[3]{6^2} &<& 4 \\ \sqrt[3]{36} &<& 4 \\ 3,3... &<& 4 \\ && \textit{Quod erat demonstrandum} \end{array} $$