Zadanie 1.2.5
Wykaż, że liczba \( \log_{125} 3 \cdot \log_{\sqrt[3]6} 36 \cdot \log_9 5 \) jest naturalna.
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu:
$$
\begin{array}{ll}
& \frac{\log 3}{\log 125} \cdot \frac{\log_6 36}{\log_6 \sqrt[3]6} \cdot \frac{\log 5}{\log 9} = \\
&= \frac{\log 3}{\log 9} \cdot \frac{\log_6 6^2}{\log_6 6^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{\log 5}{\log 125} = \\
&= \log_9 3 \cdot \frac{2}{\tfrac{1}{3}} \cdot \log_{125} 5 = \\
&= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 \\
& \textit{Quod erat demonstrandum}
\end{array}
$$
Najnowsze komentarze