Zadanie 10.1
W pojemniku jest osiem kul ponumerowanych od 1 do 8, przy czym kule z numerami, których reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1 są białe, a pozostałe kule są czarne. Losujemy z pojemnika jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od 6 i nie większy od 35.
Tabela do zadania
Rysujemy tabelę przedstawiającą wszystkie zdarzenia elementarne, oznaczamy kule białe i czarne, wypisujemy iloczyny numerów kul oraz zaznaczamy na czerwono, które iloczyny spełniają warunek z zadania.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 1 | × | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 2 | 2 | × | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
| 3 | 3 | 6 | × | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | × | 20 | 24 | 28 | 32 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | × | 30 | 35 | 40 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | × | 42 | 48 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | × | 56 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | × |
Rozwiązanie
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych wynosi \(|\Omega| = 8 \cdot 8 – 8 = 56\). (64 to wszystkie możliwe losowania, ale wykluczamy 8 z nich, bo nie można jednocześnie wylosować dwóch tych samych kul.)
Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi \(|A| = 18\). (Pola zaznaczone na czerwono w tabeli.)
Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia sprzyjającego jest równe \(P(A) = \frac{|A|}{| \Omega |} = \frac{18}{56} = \frac{9}{28}\).
Moim zdaniem o złe rozwiazanie. Moc omega jest 28. Kule losujemy równocześnie więc ułożenie np. 7 i 8 to to samo co 8 i 7. Moc omega to wylosowanie dwóch z 8 czyli 8!/2!6!=8*7/2=28. Zdarzeń A sprzyjających jest 9. Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A to P()=9/28.
Wyobraź sobie, że wylosowane kule są ustawiane na stojaku. Losujemy jednocześnie, ale wylosowanie np. 1 i 8 daje dwa zdarzenia elementarne: iloczyn 1×8 i 8×1. Wiemy, że w obu przypadkach wynik jest ten sam, ale są to 2 zd. el. Nie ma wątpliwości, że Ω=56 i A=18 🙂
Cześć wszystkim. Chciałem tylko zgłosić że strona co jakiś czas nie działa…
A co ze zdarzeniem 1 i 7 ? Iloczyn tych liczb jest większy od 6.
Zgadza się iloczyn jest większy od 6, ale nie spełnia warunku: „wylosujemy kule różnych kolorów”.