Zadanie 10.10

Na parterze bloku mającego mającego (oprócz parteru) 6 pięter wsiadło do windy 5 osób. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
a) wszystkie osoby wysiądą na jednym piętrze (kolejność wychodzenia z windy na jednym pietrze nie jest istotna)
b) każda osoba wysiądzie na innym piętrze.

Rozwiązanie

Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy za pomocą wariancji z powtórzeniami.
$$ W^5_6 = 6^5 = 7776 $$

Ad a)

Zdarzeń polegających na tym, że wszystkie osoby wysiądą na jednym piętrze jest tyle ile pięter, na których może zatrzymać się winda, czyli 6. Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi
$$ P(A) = \frac{6}{6^5} = \frac{1}{6^4} = \frac{1}{1296} $$

Ad b)

Zdarzeń polegających na tym, że każda osoba wysiądzie na innym piętrze jest 6! – mając do wypełnienia 6 miejsc (pięter), możemy je zapełnić na 6! kombinacji. Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia B jest równe
$$
P(B) = \frac{6!}{6^5} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6} = \\
= \frac{4 \cdot 5}{6 \cdot 6 \cdot 6} = \frac{5}{3 \cdot 3 \cdot 6} = \frac{5}{54}
$$