Zadanie 10.2

Tworzymy trójznakowe kody zbudowane z liter lub cyfr. Ile jest takich kodów, w których występuje co najmniej jedna litera i co najmniej jedna cyfra, jeśli:
a) nie rozróżniamy liter małych i wielkich;
b) rozróżniamy litery małe i wielkie? Zakładamy, że alfabet składa się z 26 liter.

Tabela do zadania

Listę wszystkich możliwych układów liter i cyfr przedstawia poniższa tabela. Każdemu układowi odpowiada określona ilość kombinacji.

kod			ilość kombinacji
C	L	C	\(\binom{10}{1} \cdot \binom{26}{1} \cdot \binom{10}{1}\)
L	C	L	\(\binom{26}{1} \cdot \binom{10}{1} \cdot \binom{26}{1}\)
C	C	L	\(\binom{10}{1} \cdot \binom{10}{1} \cdot \binom{26}{1}\)
L	L	C	\(\binom{26}{1} \cdot \binom{26}{1} \cdot \binom{10}{1}\)
L	C	C	\(\binom{26}{1} \cdot \binom{10}{1} \cdot \binom{10}{1}\)
C	L	L	\(\binom{10}{1} \cdot \binom{26}{1} \cdot \binom{26}{1}\)

Rozwiązanie

Ad a)

Obliczamy ilość zdarzeń dla każdego z przypadków, a następnie sumujemy te ilości.
$$
\binom{10}{1} \cdot \binom{26}{1} \cdot \binom{10}{1} + \binom{26}{1} \cdot \binom{10}{1} \cdot \binom{26}{1} + \\
+ \binom{10}{1} \cdot \binom{10}{1} \cdot \binom{26}{1} + \binom{26}{1} \cdot \binom{26}{1} \cdot \binom{10}{1} + \\
+\binom{26}{1} \cdot \binom{10}{1} \cdot \binom{10}{1} + \binom{10}{1} \cdot \binom{26}{1} \cdot \binom{26}{1} = \\
= 10 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 3 + 26 \cdot 10 \cdot 26 \cdot 3 = \\
= 7~800 + 20~280 = \mathbf{\underline{28~080}}
$$

Ad b)

W przypadku z podpunktu b) zmienia się tylko ilość liter: z 26 na 52.
$$
10 \cdot 52 \cdot 10 \cdot 3 + 52 \cdot 10 \cdot 52 \cdot 3 = \\
= 15~600 + 81~120 = \mathbf{\underline{96~720}}
$$

Odpowiedź

Trójznakowych kodów, w których występuje co najmniej jedna litera i jedna cyfra, a nie rozróżniamy liter małych i wielkich jest 28 028. Natomiast kiedy rozróżniamy litery małe i wielkie, to takich kodów jest 96 720.