Zadanie 10.4

Sześciu przyjaciół, wśród nich Jacek i Placek, wybrało się do kina. Mają bilety z kolejnymi miejscami w jednym rzędzie. Zakładając że usiądą losowo na tych miejscach oblicz prawdopodobieństwo, że
a) Jacek i Placek usiądą na najbardziej odległych miejscach;
b) Jacek i Placek usiądą na dwóch pierwszych miejscach w podanej kolejności licząc od lewej strony.

Rozwiązanie

Wszystkie sposoby, na które 6 osób może zająć 6 miejsc wyznacza permutacja dla n=6.
$$ | \Omega | = P_6 = 6! = 720 $$

Ad a)

W pierwszym przypadku mamy dwie sytuacje: kiedy Jacek siedzi na pierwszym miejscu, a Placek na ostatnim i odwrotnie. W każdym z tych przypadków, 4 osoby pomiędzy nimi można usadzić na 4! sposobów.
$$
\begin{array}{rl}
|A| =& 4! + 4! \\
P(A) =& \frac{4! + 4!}{6!} = \frac{48}{720} = \mathbf{\underline{\frac{1}{15}}}
\end{array}
$$

Ad b)

W drugim przypadku mamy tylko jedną możliwą sytuację: kiedy Jacek siedzi na pierwszym miejscu, a Placek na drugim. Również w tym przypadku, 4 pozostałe osoby można usadzić na 4! sposobów.
$$
\begin{array}{rl}
|B| =& 4! \\
P(B) =& \frac{4!}{6!} = \frac{24}{720} = \mathbf{\underline{\frac{1}{30}}}
\end{array}
$$