Zadanie 10.6

W pudełku z maskotkami były misie i pieski, przy czym misiów było trzy razy więcej niż piesków. Wybieramy losowo kolejno bez zwracania dwie maskotki. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że za pierwszym razem wylosowaliśmy misia a za drugim pieska, wynosi \( \tfrac{15}{76} \). Oblicz, ile piesków i ile misiów było na początku w pudełku.

Rozwiązanie

Oznaczamy:
\(m\) — liczba misiów
\(p\) — liczba piesków

Ponadto z treści zadania wynika, że: \(m = 3p\)

Liczbę wszystkich maskotek można zapisać jako: \(m + p = 3p + p = 4p\)

Zatem zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych określamy jako:
$$ |\Omega| = \binom{4p}{1} \cdot \binom{4p-1}{1} = 4p \cdot (4p-1) $$

Liczbę zdarzeń polegających na tym, że za pierwszym razem wylosujemy pieska, a za drugim razem misia, określamy w następujący sposób:
$$ |A| = \binom{m}{1} \cdot \binom{p}{1} = m \cdot p = 3p \cdot p = 3p^2 $$

A więc prawdopodobieństwo, o którym mowa w treści zadania zapisujemy:
$$
\begin{array}{rl}
P(A) =& \frac{3p^2}{4p(4p-1)} \\
\frac{15}{76} =& \frac{3p}{16p-4} \\
15(16p-4) =& 76 \cdot 3p \\
240p – 60 =& 228p \\
p(240 – 228) =& 60 \\
12p =& 60 \\
p =& 5
\end{array}
$$

Stąd wynika, że m = 15.

Odpowiedź

W pudełku na początku było 5 piesków i 15 misiów.