Zadanie 11.4

W celu porównania wyników dwóch łuczników zanotowano liczbę zdobytych przez nich punktów w 10 treningowych seriach strzałów.

a) Wyznacz medianę punktów w dziesięciu seriach strzałów dla każdego łucznika.
b) Oblicz średnią liczbę punktów zdobytą przez każdego łucznika.
c) Oblicz odchylenie standardowe od średniej liczby punktów dla każdego łucznika. Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku. Oceń, który z zawodników ma bardziej stabilną formę.

Rozwiązanie

Ad a)

W celu obliczenia mediany, musimy posortować rosnąco wszystkie wyniki obu łuczników.

Ponieważ ilość wyników jest parzysta, to medianą jest średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości.
$$
\begin{array}{rl}
m_I =& \frac{24 + 28}{2} = \frac{52}{2} = \mathbf{\underline{26}} \\
m_{II} =& \frac{28 + 28}{2} = \mathbf{\underline{28}}
\end{array}
$$

Ad b)

Obliczamy średnią arytmetyczną dla obu łuczników.
$$
\begin{array}{rl}
\overline{x_I} =& \frac{20+20+24+24+24+28+28+28+28+30}{10} = \\
=& \frac{254}{10} = \mathbf{\underline{25,4}} \\
\overline{x_{II}} =& \frac{24+24+24+28+28+28+28+28+28+30}{10} = \\
=& \frac{270}{10} = \mathbf{\underline{27}}
\end{array}
$$

Ad c)

Na koniec obliczamy wariancję i odchylenie standardowe dla pierwszego i drugiego łucznika.
$$
\begin{array}{rl}
\sigma_I^2 =& \frac{(20-25,4)^2 \cdot 2 + (24-25,4)^2 \cdot 3 + (28-25,4)^2 \cdot 4 + (30-25,4)^2}{10} = \\
=& \frac{137,2}{10} = 13,72 \\
\sigma_I =& \sqrt{13,72} = \mathbf{\underline{3,70}} \\
\sigma_{II}^2 =& \frac{(24-27)^2 \cdot 3 + (28-27)^2 \cdot 6 + (30-27)^2}{10} = \\
=& \frac{42}{10} = 4,2 \\
\sigma_{II} =& \sqrt{4,2} = \mathbf{\underline{2,05}}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Bardziej stabilną formę ma drugi łucznik, ponieważ odchylenie standardowe jego wyników jest mniejsze.