Zadanie 3.2.1

Rozwiąż nierówność z wartością bezwzględną |x + 1| + |x – 8| < 10.

Rozwiązanie

W pierwszym kroku stosujemy definicję wartości bezwzględnej do obu przypadków.
$$
|x+1| = \begin{cases}
x+1 & \text{ dla } x \geqslant -1 & \oplus \\
-x-1 & \text{ dla } x < -1 & \circleddash \end{cases} \\ |x-8| = \begin{cases} x-8 & \text{ dla } x \geqslant 8 & \oplus \\ -x+8 & \text{ dla } x < 8 & \circleddash \end{cases} $$ Z powyższych założeń dotyczących \(x\) otrzymujemy cztery przedziały. Dotyczą one czterech przypadków wartości bezwzględnej: \(\circleddash \circleddash , \circleddash \oplus, \oplus \circleddash , \oplus \oplus\). Założenia: $$ \begin{array}{c|c|c} I & II & III \\ \circleddash \circleddash & \oplus \circleddash & \oplus \oplus \\ x \in (-\infty, -1) & x \in \langle -1, 8) & x \in \langle 8, \infty) \end{array} $$ Zajmujemy się tylko trzema przedziałami, ponieważ iloczyn (część wspólna) warunków \(x < -1\) i \(x \geqslant 8\) da zbiór pusty. Opuszczając wartość bezwzględną stosujemy taki wariant znaków, jaki odpowiada warunkom dla \(x\) w danym przedziale. Rozwiązujemy nierówność w trzech przedziałach: $$ \begin{array}{c|c|c} I & II & III \\ \circleddash \circleddash & \oplus \circleddash & \oplus \oplus \\ -x - 1 - x + 8 < 10 & x + 1 - x + 8 < 10 & x + 1 + x - 8 < 10 \\ -2x + 7 < 10 & 9 < 10 & 2x - 7 < 10 \\ -2x < 3 & ~ & 2x < 17 \\ x > -\frac {2}{3} & ~ & x < \frac{17}{2} \\ x > -1\tfrac{1}{2} & x \in \mathbb{R} & x < 8\tfrac{1}{2} \end{array} $$ Iloczyn (część wspólna) zbioru założeń i zbioru rozwiązań daje nam rozwiązanie cząstkowe danego wariantu.
$$
\begin{array}{rc|c|c}
& I & II & III \\
\text{założenie:} & x \in (-\infty, -1) & x \in \langle -1, 8) & x \in \langle 8, \infty) \\
\text{rozwiązanie:} & x > -1\tfrac{1}{2} & x \in \mathbb{R} & x < 8\tfrac{1}{2} \\ \text{część wspólna:} & x \in \left (-1\tfrac{1}{2}, -1 \right \rangle & x \in \left (-1, 8 \right \rangle & x \in \left (8, 8\tfrac{1}{2} \right ) \end{array} $$

Odpowiedź

Ostatecznym rozwiązaniem jest suma rozwiązań cząstkowych I, II i III: \( x \in \left (-1\tfrac{1}{2}, 8\tfrac{1}{2} \right ) \).