Zadanie 3.2.2

Rozwiąż nierówność z wartością bezwzględną |2x – 5| + |x + 4| ≤ 2 – 2x.

Rozwiązanie

$$
|2x-5| = \begin{cases}
2x-5 & \text{dla } x \geqslant \frac{5}{2} & \oplus \\
-2x+5 & \text{dla } x < \frac{5}{2} & \circleddash \end{cases} $$ $$ |x+4| = \begin{cases} x+4 & \text{dla } x \geqslant -4 & \oplus \\ -x-4 & \text{dla } x < -4 & \circleddash \end{cases} $$ Po opuszczeniu wartości bezwzględnych, nierówność możemy zapisać w czterech wariantach: \( \circleddash \circleddash , \circleddash \oplus, \oplus \circleddash , \oplus \oplus \). W pierwszej kolejności upraszczamy założenia dotyczące każdego z wariantów. Uproszczenie polega na wyznaczeniu iloczynu założeń dla każdego wariantu. Założenia dla wariantu \( \circleddash \oplus \) wykluczają się (x nie może być jednocześnie większe lub równe \( \frac{5}{2} \) oraz mniejsze niż -4), więc nie bierzemy tego przypadku pod uwagę w dalszej części rozwiązania. $$ \begin{array}{c|c|c} I & II & III \\ \oplus \oplus & \circleddash \oplus & \circleddash \circleddash \\ x \in \left \langle \frac{5}{2}, \infty \right ) & x \in \left \langle -4, \frac{5}{2} \right ) & x \in (-\infty, -4) \end{array} $$ Rozwiązujemy nierówność dla 3 wariantów. $$ \begin{array}{c|c|c} I & II & III \\ \oplus \oplus & \circleddash \oplus & \circleddash \circleddash \\ 2x - 5 -(x + 4) < 2 - 2x & -2x + 5 - (x + 4) < 2 - 2x & -2x + 5 - (-x - 4) < 2 - 2x \\ -2x - 5 - x - 4 < 2 - 2x & -2x + 5 - x - 4 < 2 - 2x & -2x + 5 + x + 4 < 2 - 2x \\ 3x < 11 & -x < 1 & ~ \\ x < \frac {11}{3} & x > -1 & x < -7 \end{array} $$ Iloczyn zbioru założeń i zbioru rozwiązań daje nam rozwiązanie cząstkowe danego wariantu.
$$
\begin{array}{rc|c|c}
& I & II & III \\
\text{założenie:} & x \in \left \langle \frac{5}{2}, \infty \right ) & x \in \left \langle -4, \frac{5}{2} \right ) & x \in (-\infty, -4) \\
\text{rozwiązanie:} & x < \frac {11}{3} & x > -1 & x < -7 \\ \text{część wspólna:} & x \in \left \langle \frac{5}{2}, \frac{11}{3} \right \rangle & x \in \left \langle -1, \frac{5}{2} \right ) & x \in (-\infty, -7 \rangle \end{array} $$

Odpowiedź

Ostatecznym rozwiązaniem jest suma rozwiązań cząstkowych wariantów I, II i III: \( x \in (-\infty, -7 \rangle \cup \left \langle -1, \tfrac{11}{3} \right \rangle \).