Zadanie 3.1.1

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^2 + xy + y^2 \geq 2x + 2y – 4\).

Rozwiązanie

$$
\begin{array}{rl}
x^{2} + xy + y^{2} – 2x – 2y + 4 \geq & 0 ~~ /\cdot 2 \\
2x^{2} + 2xy + 2y^{2} – 4x – 4y + 8 \geq & 0 \\
x^{2} + x^{2} + 2xy + y^{2} + y^{2} – 4x – 4y + 4 + 4 \geq & 0 \\
(x^{2} + 2xy + y^{2}) + (y^{2} – 4y + 4) + (x^{2} – 4x + 4) \geq & 0 \\
(x + y)^2 + (y – 2)^2 + (x – 2)^2 \geq & 0 \\
\textit{Quod erat demonstrandum}
\end{array}
$$

You may also like...

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *