Zadanie 3.4.1

Czy można ułożyć równanie kwadratowe tak, aby suma pierwiastków
a) była równa 7, a ich iloczyn 3,
b) była równa 3, a ich iloczyn 7?

Rozwiązanie

W obu podpunktach zadania korzystamy z wzorów Viete’a oraz ze wzoru na wyróżnik równania kwadratowego, tzw. delta.

Ad a)

$$
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{lcl}
x_1 + x_2 &=& 7 \\
x_1 \cdot x_2 &=& 3 \\
\Delta &>& 0
\end{array}
\right.
\\
\left \{
\begin{array}{lclrl}
\frac{-b}{a} &=& 7 & \rightarrow & b = -7a \\
\frac{a}{c} &=& 3 & \rightarrow & c = 3a \\
b^2 – 4ac &>& 0
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

Podstawiamy pierwsze i drugie równanie do wzoru na deltę. Musi być spełniony warunek \(\Delta > 0\), ponieważ chcemy, aby równanie kwadratowe miało dwa różne pierwiastki.
$$
\begin{array}{rcl}
(-7a)^2 – 4a \cdot 3a &>& 0 \\
49a^2 – 12a^2 &>& 0 \\
37a^2 &>& 0 ~~ \:37 \\
a^2 &>& 0 \\
a & \neq & 0
\end{array}
$$

Wynika stąd, że warunki podpunktu a) będą spełnione, jeśli współczynnik \(a\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą różną od zera. Z kolei, ponieważ \( b = -7a \) i \( c = 3a \), to współczynniki \(b\) i \(c\) również muszą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi różnymi od zera.

Odpowiedź

Można ułożyć równanie kwadratowe tak, aby suma jego pierwiastków była równa 7, a ich iloczyn był równy 3.

Ad b)

W podobny sposób tworzymy układ równań opisujący warunki z podpunktu b).
$$
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{lclrl}
\frac{-b}{a} &=& 3 & \rightarrow & b = -3a \\
\frac{c}{a} &=& 7 & \rightarrow & c = 7a \\
b^2 – 4ac &>& 0
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

Podstawiamy współczynniki wyznaczone z pierwszych dwóch równań do trzeciej nierówności i ją rozwiązujemy.
$$
\begin{array}{rcl}
(-3a)^2 – 4 \cdot a \cdot 7a &>& 0 \\
9a^2 – 28a^2 &>& 0 \\
-19a^2 &>& 0 ~~ /:(-19) \\
a^2 &<& 0 \\
a & \in \varnothing
\end{array}
$$

Nie istnieje liczba, która podniesiona do kwadratu dałaby wynik mniejszy od zera. Wynika z tego, że nie można spełnić warunków postawionych w podpunkcie b).

Odpowiedź

Nie można ułożyć równania kwadratowego tak, aby suma jego pierwiastków była równa 3, a ich iloczyn był równy 7.