Jeśli równanie ma pierwiastki, oblicz sumę ich odwrotności.

Rozwiązanie

W poniższych przykładach będziemy korzystać ze wzoru \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} \). Pozwoli on nam użyć wzorów Viete’a bez konieczności obliczania pierwiastków \(x_1\) i \(x_2\). Musimy jedynie sprawdzić czy w każdym równaniu spełniony jest warunek \(\Delta > 0\).

Ad a)

$$
\begin{array}{rcl}
3x^2-x-1 &=& 0 \\
\Delta &=& b^2 – 4ac = (-1)^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 1 + 12 = 13 \\
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} &=& \frac{ \frac{-b}{a} }{ \frac{c}{a} } = \frac{-b}{a} \cdot \frac{a}{c} = \frac{-b}{c} = -\frac{-1}{-1} = -1 \\
\end{array}
$$

Ad b)

$$
\begin{array}{rcl}
-2x^2-8x-3 &=& 0 \\
\Delta &=& b^2 – 4ac = (-8)^2 – 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 64 – 24 = 40 \\
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} &=& \frac{-b}{c} = -\frac{-8}{-3} = -\frac{8}{3} = -2\frac{1}{2} \\
\end{array}
$$

Ad c)

$$
\begin{array}{rcl}
4x^2 + 20x – 6 &=& 0 \\
\Delta &=& b^2 – 4ac = 20^2 – 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 400 + 96 = 496 \\
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} &=& – \frac{b}{c} = – \frac{20}{-6} = 3\frac{1}{3} \\
\end{array}
$$