Zadanie 3.5.2

Obwód czworokąta wynosi 0,28 m. Drugi bok jest o 5 cm większy od pierwszego, trzeci zaś bok stanowi 75% drugiego, a 120% czwartego boku. Oblicz boki tego czworokąta.

Rozwiązanie

Na podstawie treści zadania układamy układ równań. Następnie przekształcamy je i zapisujemy jedno równanie z jedną niewiadomą \(a\).
$$
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{l}
a + b + c + d = 28 \\
b – 5 = \frac{1}{3} a \\
c = 75%~b \\
c = 120%~d
\end{array}
\right.
\\
\left\{
\begin{array}{l}
a + b + c + d = 28 \\
b = \frac{1}{3} a + 5 \\
c = \frac{3}{4} b \\
c = \frac{6}{5} d
\end{array}
\right.
\\
\left\{
\begin{array}{l}
a + b + c + d = 28 \\
b = \frac{1}{3} a + 5 \\
c = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{3} a + 5 \right) = \frac{1}{4} a + \frac{15}{4} \\
d = \frac{5}{6} c = \frac{5}{6} \left( \frac{1}{4} a + \frac{15}{4} \right) = \frac{5}{24} a + \frac{75}{24}
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

Rozwiązujemy równanie wyznaczając niewiadomą \(a\).
$$
\begin{array}{rl}
a + \frac{1}{3} a + 5 + \frac{1}{4} a + \frac{15}{4} + \frac{5}{24} a + \frac{75}{24} =& 28 \\
\frac{4}{3} a + \frac{1}{4} a + \frac{5}{24} a =& 28 – 5 – \frac{15}{4} – \frac{75}{24} \\
\frac{32}{24} a + \frac{6}{24} a + \frac{5}{24} a =& 23 – \frac{90}{24} – \frac{75}{24} \\
\frac{43}{24} a =& \frac{552}{24} – \frac{165}{24} \\
\frac{43}{24} a =& \frac{387}{24} \\
a =& \frac{387}{24} \cdot \frac{24}{43} = \frac{387}{43} = \mathbf{\underline{9}}
\end{array}
$$

W kolejnym kroku obliczamy wartość pozostałych niewiadomych.
$$
\begin{array}{rl}
b =& \frac{1}{3} a + 5 = \frac{1}{3} \cdot 9 + 5 = 3 + 5 = 8 \\
c =& \frac{1}{4} a + \frac{15}{4} = \frac{1}{4} \cdot 9 + \frac{15}{4} = \frac{24}{4} = 6 \\
d =& \frac{5}{24} a + \frac{75}{24} = \frac{5}{24} \cdot 9 + \frac{75}{24} = \frac{120}{24} = 5
\end{array}
$$

Na koniec sprawdzamy poprawność obliczeń.
$$
\begin{array}{rl}
a + b + c + d =& 28 \\
9 + 8 + 6 + 5 =& 28
\end{array}
$$

Odpowiedź

Długości boków czworokąta wynoszą 9, 8, 6 i 5 cm.