Zadanie 3.5.3

W klasie IIa dwudziestu uczniów pisało klasówkę. Piątki i szóstki dostało w sumie 9 osób. Czwórki dostało o 20% osób mniej niż piątki. Trójki dostało o 25% więcej niż szóstki. Tylko jedna osoba dostała dwójkę, a jedna jedynkę. Ile osób dostało szóstki? Ile osób dostało trójki? Oblicz średnią ocen całej klasy.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu równania przyjmiemy następujące oznaczenia:
\(s\) — liczba szóstek
\(p\) — liczba piątek
\(c\) — liczba czwórek
\(t\) — liczba trójek

Z treści zadania wynika poniższy układ równań.
$$
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{l}
9 + c + t + 2 = 20 \\
s + p = 9 \\
c = p – 20\% p \\
t = s + 25\% s
\end{array}
\right.
\\
\left\{
\begin{array}{l}
c + t = 20 – 2 – 9 \\
s + p = 9 \\
c = p – \frac{1}{5} p \\
t = s + \frac{1}{4} s
\end{array}
\right.
\\
\left\{
\begin{array}{l}
c + t = 11 \\
s + p = 9 \\
c = \frac{4}{5} p \\
t = \frac{5}{4} s
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

Trzecie i czwarte równanie podstawiamy do pierwszego.
$$
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{4}{5} p + \frac{5}{4} s = 9 \\
p = 9 – s
\end{array}
\right.
\end{array}
$$
$$
\require{cancel}
\begin{array}{rl}
\frac{4}{5} (9 – s) + \frac{5}{4} s =& 9 \\
\frac{36}{5} – \frac{4}{5} s + \frac{5}{4} s =& 9 \\
– \frac{16}{20} s + \frac{25}{20} s =& 9 – \frac{36}{5} \\
\frac{9}{20} s =& \frac{45}{5} – \frac{36}{5} \\
\frac{9}{20} s =& \frac{9}{5} ~~ \cdot \frac{20}{9} \\
s =& \frac{\cancel{9}}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{20}^4}{\cancel{9}} \\
s =& \mathbf{\underline{4}}
\end{array}
$$

Wiemy już, że było cztery szóstki. Obliczamy ile było pozostałych ocen.
$$
\begin{array}{rl}
p =& 9 – 4 = \mathbf{\underline{5}} \\
c =& \frac{4}{5} p = \frac{4}{5} \cdot 5 = \mathbf{\underline{4}} \\
t =& \frac{5}{4} s = \frac{5}{4} \cdot 4 = \mathbf{\underline{5}}
\end{array}
$$

Na koniec obliczamy średnią ocen całej klasy.
$$
\begin{array}{rl}
\overline{x} =& \frac{6 \cdot 4 + 5 \cdot 5 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{20} = \\
=& \frac{83}{20} = \mathbf{\underline{4,15}} \\
\end{array}
$$

Odpowiedź

Uczniowie ze sprawdzianu otrzymali cztery szóstki i pięć trójek, a średnia arytmetyczna wszystkich ocen wynosi 4,15.