Zadanie 3.5.4

Fabryka produkuje zielone i czerwone szelki. Zielone są o 50% tańsze niż czerwone i stanowią 10% liczby produkowanych szelek. Gdyby fabryka ta produkowała miesięcznie o 100 szelek mniej, ale wszystkie czerwone, to przychód ze sprzedaży nie zmieniłby się. Ile szelek miesięcznie produkuje ta fabryka?

Rozwiązanie

W zadaniu przyjmiemy następujące oznaczenia:
\(z\) — liczba szelek zielonych
\(c\) — liczba szelek czerwonych
\(x_z\) — cena szelek zielonych
\(x_c\) — cena szelek czerwonych

Najważniejszym krokiem w rozwiązaniu zadania jest utworzenie układu równań opisujących treść zadania.
$$
\left\{
\begin{array}{lrl}
50\% ~ x_c &=& x_z \\
10\% (z + c) &=& z \\
c \cdot x_c + z \cdot x_z &=& (c + z – 100) \cdot x_c
\end{array}
\right.
$$

Pierwsze równanie opisuje sytuację gdy zielone szelki są o 50% tańsze niż czerwone. Drugie, gdy zielone szelki stanową 10% wszystkich produkowanych. Z kolei trzecie równanie opisuje dochód ze sprzedaży, gdyby produkowano tylko czerwone szelki. Teraz zapisujemy dwa pierwsze równania w prostszej postaci i podstawiamy je do trzeciego.
$$
\begin{array}{rl}
0,5 ~ x_c =& x_z \\
\\
0,1 (z + c) =& z ~~ /\cdot 10 \\
z + c =& 10z \\
c =& 10z – z \\
c =& 9z
\end{array}
\\
\require{cancel}
\begin{array}{rl}
9z \cdot x_c + z \cdot 0,5 x_c =& (9z + z – 100) \cdot x_c ~~ /:x_c \\
\cancel{9z} + 0,5z =& \cancel{9z} + z – 100 \\
-0,5z =& -100 ~~ /\cdot (-2) \\
z =& \mathbf{\underline{200}}
\end{array}
$$

Skoro wiemy już, że fabryka produkuje 200 sztuk zielonych szelek, to pozostaje obliczyć ilość szelek czerwonych.
$$
c = 9z = 9 \cdot 200 = \mathbf{\underline{1800}}
$$

Odpowiedź

Ta fabryka produkuje miesięcznie 200 szelek zielonych oraz 1800 szelek czerwonych.