Zadanie 3.7.1

Do zbiornika można doprowadzić wodę dwiema rurami. Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o 5 godzin i 30 minut krótszy od czasu napełniania tego zbiornika tylko drugą rurą, natomiast 15 godzin trwa napełnienie tego zbiornika obiema rurami jednocześnie. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą.

Rozwiązanie

Definiujemy oznaczenia:
\(V\) — pojemność zbiorników [m³]
\(t\) — czas napełniania zbiornika pierwszą rurą (szukane) [h]
\(p_1, p_2\) — ilość wody, jaką dostarcza do zbiornika pierwsza i druga rura [m³]

Na podstawie treści zadania zapisujemy 3 równania:
\(V = p_1 \cdot t\) — pierwsze równanie opisujące napełnianie zbiornika pierwszą rurą
\(V = p_2 \cdot (t + 5,5)\) — drugie równanie opisujące napełnianie zbiornika drugą rurą
\(V = (p_1 + p_2) \cdot 15\) — trzecie równanie opisujące napełnianie zbiornika jednocześnie pierwszą i drugą rurą

Przyrównujemy do siebie dwa pierwsze równania i wyznaczamy niewiadomą \(p_1\).
$$
\begin{array}{rl}
p_1 \cdot t =& p_2 \cdot (t + 5,5) \\
p_1 =& \frac{p_2 \cdot (t + 5,5)}{t}
\end{array}
$$

Teraz przyrównujemy do siebie drugie i trzecie równanie, podstawiając niewiadomą \(p_1\) z powyższego równania.
$$
\begin{array}{rl}
p_2 \cdot (t + 5,5) =& (p_1 + p_2) \cdot 15 \\
p_2 \cdot (t + 5,5) =& \left [ \frac{p_2 \cdot (t + 5,5)}{t} + p_2 \right ] \cdot 15 ~~ /:p_2 \\
t + 5,5 =& \left ( \frac{t + 5,5}{t} + 1 \right ) \cdot 15 ~~ /\cdot t \\
t^2 + 5,5t =& (t + 5,5 + t) \cdot 15 \\
t^2 + 5,5t =& 30t + 82,5 \
t^2 – 24,5t – 82,5 =& 0
\end{array}
$$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem niewiadomej \(t\).
$$
\begin{array}{rl}
\Delta =& b^2 – 4ac = (-24,5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-82,5) = \\
=& 600,25 + 330 = 930,25 \\
\sqrt{\Delta} =& \sqrt{930,25} = 30,5 \\
t_1 =& \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{24,5 – 30,5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \\
t_2 =& \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{24,5 + 30,5}{2} = \frac{55}{2} = \mathbf{\underline{27,5}} ~ [h]
\end{array}
$$

Odpowiedź

Napełniając zbiornik pierwszą rurą napełnimy go w czasie 27 godzin i 30 minut.