Z dwóch miast A i B, odległych od siebie o 18 kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta A o jedną godzinę wcześniej niż drugi z miasta B. Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaniu pierwszy turysta szedł do miasta B jeszcze 1,5 godziny, drugi zaś szedł jeszcze 4 godziny do miasta A.

Rysunek do zadania

Rozwiązanie

Z treści zadania wynika, że każdy z turystów przeszedł całą drogę z tą samą prędkością. Pierwszy turysta poruszał się z prędkością \(v_A\), a drugi z prędkością \(v_B\). Wiemy, że prędkość definiuje się jako iloraz przebytej drogi do czasu, jaki jej przebycie zajmuje. Zapisujemy zatem dwa równania na prędkość turysty wyruszającego z miasta A i kolejne dwa dla turysty wyruszającego z miasta B. Pierwsze równanie dotyczy prędkości przy wyruszaniu w drogę (1), drugie zaś, prędkości po ich spotkaniu (2).
$$
\begin{array}{lll}
v_A = \frac{x}{t+1} & v_B = \frac{18 – x}{t} & (1) \\
v_A = \frac{18 – x}{1,5} & v_B = \frac{x}{4} & (2)
\end{array}
$$

Porównujemy do siebie równania \(v_A\) i \(v_B\), następnie tworzymy i rozwiązujemy układ dwóch równań.
$$
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{x}{t+1} = \frac{18 + x}{1,5} \\
\frac{18 – x}{t} = \frac{x}{4}
\end{array}
\right.
\\
\left\{
\begin{array}{l}
1,5x = (18 + x)(t+1) \\
4(18 – x) = xt
\end{array}
\right.
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{rl}
72 – 4x – xt =& 0 \\
x (-4 -t) =& -72 \\
x =& \frac{72}{t + 4}
\end{array}
$$

W pierwszym przekształceniu pomnożyliśmy równania „na krzyż”. Następnie z drugiego równania wyznaczyliśmy niewiadomą \(x\) i teraz podstawiamy ją do pierwszego.
$$
\begin{array}{rl}
1,5 \cdot \frac{72}{t + 4} =& \left (18 – \frac{72}{t + 4} \right )(t + 1) ~~ /\cdot (t + 4) \\
1,5 \cdot 72 =& \left [ 18(t + 4) – 72 \right ](t + 1) \\
108 =& (18t + 72 – 72)(t + 1) \\
108 =& 18t^2 + 18t \\
18t^2 + 18 t – 108 =& 0 ~~ /:18 \\
t^2 + t – 6 =& 0
\end{array}
$$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem niewiadomej \(t\).
$$
\begin{array}{rl}
\Delta =& b^2 – 4ac = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \\
\sqrt{\Delta} =& \sqrt{25} = 5 \\
t_1 =& \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 – 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \\
t_2 =& \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = \mathbf{\underline{2}} ~ [h]
\end{array}
$$

Odrzucamy wartość -3 i wyznaczamy niewiadomą \(x\) dla \(t = 2\). Następnie obliczamy wartości \(v_A\) i \(v_B\).
$$
\begin{array}{rl}
x =& \frac{72}{t + 4} = \frac{72}{2 + 4} = 12 ~ [km] \\
v_A =& \frac{12}{2 + 1} = \frac{12}{3} = 4 ~ [\tfrac{km}{h}] \\
v_B =& \frac{18 – 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 ~ [\tfrac{km}{h}]
\end{array}
$$

Odpowiedź

Turyści spotkali się w odległości 12 km od miasta A. Turysta, który wyruszył z miasta A, poruszał się z prędkością 4 km/h, a turysta z miasta B szedł z prędkością 3 km/h.