Zadanie 3.7.3

Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.

Rozwiązanie

Zapisujemy podstawowy wzór łączący drogę, prędkość i czas.
$$ s = v \cdot t $$

Dalej w treści zadania rzymską cyfrą I oznaczane będą wielkości odpowiadające pierwszemu pociągowi, a cyfrą II – drugiemu. Z treści zadania wiemy, że:
$$
\begin{array}{lll}
t_I =& t_{II} – \tfrac{2}{3} &[h] \\
v_I =& v_{II} + 9 &[\tfrac{km}{h}] \\
s_I =& s_{II} = 336 &[km]
\end{array}
$$

Skoro \( s_I = s_{II} \), to \( v_I \cdot t_I = v_{II} \cdot t_{II} = 336 \). Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań.
$$
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{lrl}
v_I \cdot t_I &=& v_{II} \cdot t_{II} \\
v_{II} \cdot t_{II} &=& 336
\end{array}
\right.
\\
\left\{
\begin{array}{l}
(v_{II} + 9)(t_{II} – \tfrac{2}{3}) &=& 336 \\
t_{II} &=& \frac{336}{v_{II}}
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

Mnożymy przez siebie nawiasy z pierwszego równania i w miejsce \(t_{II}\) podstawiamy wartość z drugiego równania, czyli \(\frac{336}{v_{II}}\). Następnie przekształcamy wszystko do równania kwadratowego z niewiadomą \(v_{II}\).
$$
\begin{array}{rl}
v_{II} \cdot t_{II} + 9 t_{II} – \tfrac{2}{3} v_{II} – 6 =& 336 \\
336 + 9 \tfrac{336}{v_{II}} – \tfrac{2}{3} v_{II} – 6 =& 336 \\
– \tfrac{2}{3} v_{II} – 6 + \tfrac{3024}{v_{II}} =& 0 ~~/ \cdot (-v_{II}) \\
\tfrac{2}{3} v_{II}^2 + 6 v_{II} – 3024 =& 0
\end{array}
$$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem \(v_{II}\).
$$
\begin{array}{rl}
\Delta =& b^2 – 4ac = 6^2 – 4 \cdot \tfrac{2}{3} \cdot (-3024) = \\
=& 36 + 8024 = 8100 \\
\sqrt{\Delta} =& \sqrt{8100} = 90 \\
v_{II~1} =& \frac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 – 90}{2 \cdot \tfrac{2}{3}} = \\
=& -96 \cdot \frac{3}{4} = -72 \\
v_{II~2} =& \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 + 90}{2 \cdot \tfrac{2}{3}} = \\
=& 84 \cdot \frac{3}{4} = \mathbf{\underline{63}} ~ [\tfrac{km}{h}]
\end{array}
$$

Odrzucamy wartość ujemną i obliczamy prędkość pierwszego pociągu.
$$ v_I = v_{II} + 9 = 63 + 9 = 72 ~ [\tfrac{km}{h}] $$

Odpowiedź

Pierwszy pociąg poruszał się ze średnią prędkością 72 km/h, a drugi ze średnią prędkością 63 km/h.