Zadanie 3.7.5

Tę samą trasę z Kielc do Sandomierza pokonało dwóch rowerzystów. Drugi z nich wyruszył 28 minut później niż pierwszy, ale jechał ze średnią prędkością o 3 km/h większą od średniej prędkości pierwszego rowerzysty i dogonił go po pokonaniu 42 km trasy. Oblicz średnią prędkość każdego z tych rowerzystów.

Rysunek do zadania

Rozwiązanie

Zapisujemy wzór łączący przebytą drogę, prędkość i czas.
$$ s = v \cdot t $$

Z treści zadania wybieramy najistotniejsze fakty i wypisujemy je w postaci trzech równań.
$$
\begin{array}{rl}
t_2 =& t_1 – \frac{28}{60} & [h] \\
v_2 =& v_1 + 3 & [\tfrac{km}{h}] \\
s_1 =& s_2 = 42 & [km]
\end{array}
$$

Pierwsze równanie opisuje informację, że drugi rowerzysta wyruszył 28 minut po pierwszym. Drugie równanie mówi nam o tym, że drugi jechał 3 km/h szybciej od pierwszego. Z kolei trzecie równanie dotyczy faktu, że obaj rowerzyści w momencie spotkania przejechali dystans 42 km.

Obaj rowerzyści spotkali się po 42 km, więc \( s_1 = s_2 \), czyli \( v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2 \). Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań.
$$
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{lrl}
v_1 \cdot t_1 &=& v_2 \cdot t_2 \\
v_1 \cdot t_1 &=& 42
\end{array}
\right.
\\
\left\{
\begin{array}{l}
42 &=& (v_1 + 3)(t_1 – \tfrac{28}{60}) \\
t_1 &=& \tfrac{42}{v_1}
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

Upraszczamy pierwsze równanie, podstawiając w miejsce iloczynu \(v_1 \cdot t_1\) wartość 42.
$$
\require{cancel}
\begin{array}{rl}
\cancel{42} =& \cancel{42} -v_1 \cdot \tfrac{7}{15} + 3 t_1 – \tfrac{7}{5} \\
-\tfrac{7}{15} v_1 + 3t_1 – \tfrac{7}{5} =& 0 \\
-\tfrac{7}{15} v_1 + 3 \tfrac{42}{v_1} – \tfrac{7}{5} =& 0 ~~ / \cdot (-v_1) \\
\tfrac{7}{15} v_1^2 + \tfrac{7}{5} v_1 – 126 =& 0 ~~ / \cdot 5 \\
\tfrac{7}{3} v_1^2 + 7 v_1 – 630 =& 0
\end{array}
$$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem niewiadomej \(v_1\).
$$
\begin{array}{rl}
\Delta =& b^2 – 4ac = 7^2 – 4 \cdot \tfrac{7}{3} \cdot (-630) = \\
=& 49 + 5880 = 5929 \\
\sqrt{\Delta} =& \sqrt{5929} = 77 \\
v_{11} =& \frac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 – 77}{2 \cdot \tfrac{7}{3}} = \\
=& -84 \cdot \frac{3}{14} = -18 \\
v_{12} =& \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 + 77}{2 \cdot \tfrac{7}{3}} = \\
=& 70 \cdot \frac{3}{14} = \frac{30}{2} = \mathbf{\underline{15}} ~ [\tfrac{km}{h}]
\end{array}
$$

Odrzucamy wartość ujemną i obliczamy średnią prędkość drugiego rowerzysty.
$$ v_2 = v_1 + 3 = 15 + 3 = 18 ~ [\tfrac{km}{h}] $$

Odpowiedź

Średnia prędkość pierwszego rowerzysty to 15 km/h, a drugiego to 18 km/h.

You may also like...

1 Response

  1. Przemek Maslakiewicz pisze:

    Czy mi się wydaje czy storna co jakiś czas przestaje działać ?

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *