Zadanie 3.7.6

Autobus jechał z miasta A do B z prędkością 72 km/h. Po przyjeździe do B natychmiast zawrócił do A. Średnia prędkość na całej trasie (z A do B i z B do A) wynosiła 57,6 km/h. Z jaką prędkością jechał z B do A.

Rysunek do zadania

Rozwiązanie

Zdefiniujmy poniższe oznaczenia:
\( v_{1} \) — prędkość autobusu kiedy jechał z miasta A do B
\( v_{2} \) — prędkość autobusu kiedy jechał z B do A
\( v_{1+2} \) — średnia prędkość autobusu na trasie w obie strony

Na podstawie treści zadania zapisujemy trzy równania.
$$
\begin{array}{rl}
t_1 =& \frac{s}{v_1} & [h] \\
t_2 =& \frac{s}{v_2} & [h] \\
v_{1+2} =& \frac{2s}{t_1 + t_2} & [km]
\end{array}
$$

Teraz podstawiamy dwa pierwsze równania do trzeciego i wyznaczamy \(v_2\).
$$
\require{cancel}
\begin{array}{rl}
v_{1+2} =& \frac{2s}{\tfrac{s}{v_1} + \tfrac{s}{v_2}} \\
v_{1+2} =& \frac{2\cancel{s}}{\cancel{s} \left( \tfrac{1}{v_1} + \tfrac{1}{v_2} \right) } ~~ /:2 \\
\frac{v_{1+2}}{2} =& \frac{1}{\tfrac{1}{v_1} + \tfrac{1}{v_2}} ~~ / ^{-1} \\
\frac{2}{v_{1+2}} =& \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \\
\frac{2}{v_{1+2}} – \frac{1}{v_1} =& \frac{1}{v_2} \\
\frac{1}{v_2} =& \frac{2 v_1 – v_{1+2}}{v_{1+2} \cdot v_1} \\
v_2 =& \frac{v_{1+2} \cdot v_1}{2 v_1 – v_{1+2}} = \frac{57,6 \cdot 72}{2 \cdot 72 – 57,6} = \\
=& \frac{4147,2}{86,4} = 48 ~ [\tfrac{km}{h}]
\end{array}
$$

Odpowiedź

Pociąg z miasta B do A jechał ze średnią prędkością 48 km/h.