Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x) = x^2 + (3m-2)x + m + 2\). Wyznacz, w zależności od parametru \(m\), wzór funkcji \(g(m) = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\), gdzie \(x_1\) i \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\) oraz podaj zbiór wartości funkcji \(g\).

Rozwiązanie

Określamy jakie warunki musi spełniać parametr \(m\), aby funkcja \(f(x)\) posiadała dwa różne miejsca zerowe. Oczywiście jest to warunek, aby \(\Delta_x > 0\). Wyznaczamy wyróżnik funkcji kwadratowej \(f(x)\).
$$
\begin{array}{rl}
\Delta_x =& b^2 – 4ac = \\
=& (3m – 2)^2 – 4 \cdot (m + 2) = \\
=& 9m^2 – 12m + 4 – 4m – 8 = \\
=& 9m^2 – 16m – 4
\end{array}
$$

Stąd wynika, że:
$$ 9m^2 – 16m – 4 > 0 $$

Rozwiązujemy zatem powyższą nierówność względem \(m\).
$$
\begin{array}{rl}
\Delta_m =& b^2 – 4ac = (-16)^2 – 4 \cdot (-4) \cdot 9 = \\
=& 256 + 144 = 400 \\
\sqrt{\Delta_m} =& \sqrt{400} = 20 \\
m_1 =& \frac{-b – \sqrt{\Delta_m}}{2a} = \frac{16 – 20}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9} \\
m_2 =& \frac{-b + \sqrt{\Delta_m}}{2a} = \frac{16 + 20}{18} = \frac{36}{18} = 2
\end{array}
$$

Wynika z tego, że aby funkcja \(f(x)\) posiadała dwa różne pierwiastki, to parametr \(m\) musi spełniać warunek: \(m \in \left (-\infty, -\frac{2}{9} \right ) \cup (2, \infty)\). Na koniec wyznaczamy postać funkcji \(g(m)\).
$$
\begin{array}{rl}
g(m) =& \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \\
=& \frac{2a}{-b – \sqrt{\Delta_x}} + \frac{2a}{-b + \sqrt{\Delta_x}} = \\
=& \frac{2a \left(-b + \sqrt{\Delta_x} \right) + 2a \left(-b – \sqrt{\Delta_x}\right)}{b^2 – \sqrt{\Delta_x} + \sqrt{\Delta_x} – \Delta_x} = \\
=& \frac{2a \left(-b + \sqrt{\Delta_x} – b – \sqrt{\Delta_x}\right)}{b^2 – \Delta_x} = \\
=& \frac{2a(-2b)}{b^2 – \Delta_x} = \frac{-4ab}{b^2 – \Delta_x} = \\
=& \frac{-4(3m – 2)}{(3m-2)^2 – (9m^2 – 16m – 4)} = \\
=& \frac{-4(3m – 2)}{9m^2 – 12m + 4 – 9m^2 + 16m + 4} = \\
=& \frac{-4(3m – 2)}{4(m + 2)} = \mathbf{\underline{\frac{-3m + 2}{m + 2}}}
\end{array}
$$

Taki sam wynik otrzymamy stosując tzw. wzory Viete’a.
$$
\begin{array}{rl}
g(m) =& \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \\
=& \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = -\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{c} = \\
=& -\frac{b}{c} = \mathbf{\underline{\frac{-3m + 2}{m + 2}}}
\end{array}
$$

Postać funkcji \(g(m)\) nakłada kolejny warunek na parametr \(m\): \(m \ne -2\).

Odpowiedź

Ostatecznie założenia dotyczące parametru \(m\) mają postać: \(m \in (-\infty, -2 ) \cup \left (-2, -\frac{2}{9} \right ) \cup (2, \infty)\).