Zadanie 4.3.1

Udowodnij, że wykresy funkcji \(f(x) = 3\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{7})^{x+1}\)
oraz \(g(x) = (\frac{8}{343})^{\tfrac{1}{3}x – 1}\) nie mają punktów wspólnych.

Rozwiązanie

Jeśli chcemy sprawdzić czy funkcje \(f(x)\) i \(g(x)\) mają punkty wspólne, to należy zbadać prawdziwość równania \(f(x) = g(x)\).
$$
\begin{array}{rcl}
3\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{7})^{x+1} &=& (\frac{8}{343})^{\tfrac{1}{3}x – 1} \\
\frac{7}{2} \cdot (\frac{2}{7})^{x} \cdot \frac{2}{7} &=& \left[\left(\frac{2}{7}\right)^3\right]^{\tfrac{1}{3}x – 1} \\
(\frac{2}{7})^{x} &=& (\frac{2}{7})^{x – 3} \\
x &=& x – 3 \\
0 &\neq& -3
\end{array}
$$

Odpowiedź

Ponieważ prawa strona nie równa się lewej, to funkcje \(f(x)\) i \(g(x)\) nie mają punktów wspólnych.