Zadanie 4.3.2

Wyznacz wartość parametru
\(k\), jeżeli wiadomo, że dla argumentu 1 funkcje \(f(x) = (\frac{2}{5})^{x-2}\) oraz \(g(x) = (\frac{1}{4})^{3x + k} + 2\) przyjmują tą samą wartość.

Rozwiązanie

Skoro dla \(x = 1\) funkcje \(f(x)\) i \(g(x)\) mają te same wartości, to możemy zapisać równanie:
$$
\begin{array}{rcl}
(\frac{2}{5})^{1-2} &=& (\frac{1}{4})^{3 + k} + 2 \\
(\frac{2}{5})^{-1} &=& (\frac{1}{4})^{3 + k} + 2 \\
\frac{5}{2} – 2 &=& (\frac{1}{4})^{3 + k} \\
(\frac{1}{2})^1 &=& (\frac{1}{2})^{2(3 + k)} \\
1 &=& 6 + 2k \\
2k &=& -5 \\
k &=& -\frac{5}{2}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Wartość parametru
\(k\) to \(-\frac{5}{2}\).