Zadanie 5.1.1

Wykopanie 1 metra studni kosztuje 8 zł, a każdego następnego o 3 zł drożej. Oblicz:
a) ile kosztuje wykopanie studni o głębokości 25 m;
b) jaka była głębokość studni, jeśli jej wykopanie kosztowało 798 zł.

Rozwiązanie

Mamy tu do czynienia z ciągiem arytmetycznym. Zdefiniujmy oznaczenia:
\( a_1 = 8 \) — pierwszy wyraz ciągu
\(r = 3 \) — różnica ciągu
\(n = 25 \) — liczba wyrazów ciągu

Ad a)

Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu, obliczamy ile kosztuje wykopanie studni o głębokości 25 m:

$$
\begin{array}{rl}
S_n =& \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n = \\
=& \frac{2 \cdot 8 + (24-1) \cdot 3}{2} \cdot 25 = \\
=& \frac{16 + 72}{2} \cdot 25 = \\
=& 44 \cdot 25 = \mathbf{\underline{1100}}
\end{array}
$$

Ad b)

Na podstawie informacji z zadania układamy równanie i przekształcamy go do równania kwadratowego:
$$
\begin{array}{rl}
S_n =& \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \\
798 =& \frac{2 \cdot 8 + (n-1) \cdot 3}{2} \cdot n ~ /\cdot 2 \\
1598 =& (16 + 3n – 3) \cdot n \\
1598 =& 13n + 3n^2 \\
3n^2 + 13n – 1598 =& 0
\end{array}
$$

Rozwiązujemy równanie względem niewiadomej \(n\).
$$
\begin{array}{rl}
\Delta =& b^2 – 4ac = 13^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-1596) = \\
=& 169 + 19,152 = 19,321 \\
\sqrt{\Delta} =& \sqrt{19,321} = 139 \\
n_1 =& \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-13 – 139}{6} = \frac{-152}{6} = -25 \frac{1}{3} \\
n_2 =& \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-13 + 139}{6} = \frac{126}{6} = \mathbf{\underline{21}}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Wykopanie 25 metrów studni będzie kosztowało 1100 zł. Jeśli wykopanie studni kosztowało 798 zł, to jej głębokość jest równa 21 metrów.

You may also like...

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *