Zadanie 5.1.1

Wykopanie 1 metra studni kosztuje 8 zł, a każdego następnego o 3 zł drożej. Oblicz:
a) ile kosztuje wykopanie studni o głębokości 25 m;
b) jaka była głębokość studni, jeśli jej wykopanie kosztowało 798 zł.

Rozwiązanie

Mamy tu do czynienia z ciągiem arytmetycznym. Zdefiniujmy oznaczenia:
\( a_1 = 8 \) — pierwszy wyraz ciągu
\(r = 3 \) — różnica ciągu
\(n = 25 \) — liczba wyrazów ciągu

Ad a)

Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu, obliczamy ile kosztuje wykopanie studni o głębokości 25 m:

$$
\begin{array}{rl}
S_n =& \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n = \\
=& \frac{2 \cdot 8 + (24-1) \cdot 3}{2} \cdot 25 = \\
=& \frac{16 + 72}{2} \cdot 25 = \\
=& 44 \cdot 25 = \mathbf{\underline{1100}}
\end{array}
$$

Ad b)

Na podstawie informacji z zadania układamy równanie i przekształcamy go do równania kwadratowego:
$$
\begin{array}{rl}
S_n =& \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \\
798 =& \frac{2 \cdot 8 + (n-1) \cdot 3}{2} \cdot n ~ /\cdot 2 \\
1598 =& (16 + 3n – 3) \cdot n \\
1598 =& 13n + 3n^2 \\
3n^2 + 13n – 1598 =& 0
\end{array}
$$

Rozwiązujemy równanie względem niewiadomej \(n\).
$$
\begin{array}{rl}
\Delta =& b^2 – 4ac = 13^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-1596) = \\
=& 169 + 19,152 = 19,321 \\
\sqrt{\Delta} =& \sqrt{19,321} = 139 \\
n_1 =& \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-13 – 139}{6} = \frac{-152}{6} = -25 \frac{1}{3} \\
n_2 =& \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-13 + 139}{6} = \frac{126}{6} = \mathbf{\underline{21}}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Wykopanie 25 metrów studni będzie kosztowało 1100 zł. Jeśli wykopanie studni kosztowało 798 zł, to jej głębokość jest równa 21 metrów.