Zadanie 5.1.2

Suma \(S_n = a_1 + a_2 + … + a_n\) początkowych \(n\) wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest określona wzorem \(S_n = n^2 – 2\) dla \(n \geq 1\). Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu.

Rozwiązanie

$$
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{lrl}
S_n &=& a_1 + a_2 + \cdots + a_n \\
S_n &=& n^2 – 2n
\end{array}
\right.
\\
\left\{
\begin{array}{l}
S_{n-1} &=& a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} \\
S_{n-1} &=& (n-1)^2 – 2(n-1) = \\
&=& n^2 – 2n + 1 – 2n +2 = \\
&=& n^2 – 4n + 3
\end{array}
\right.
\end{array}
$$
$$
\require{cancel}
\begin{array}{rl}
S_n =& S_{n-1} + a_n \\
a_n =& S_n – S_{n-1} = n^2 – 2n – (n^2 – 4n + 3) = \\
=& \cancel{n^2} – 2n – \cancel{n^2} + 4n – 3 = \mathbf{\underline{2n – 3}}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu to \(2n-3\).