Zadanie 5.1.3

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = \frac{5-2n}{2}\) dla \(n \ge 1\). Oblicz sumę dla \(a_{51} + a_{52} + a_{53} + … + a_{99} + a_{100}\).

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności obliczamy sumę 50 i 100 wyrazów tego ciągu.
$$
\begin{array}{rl}
a_1 =& \frac{5-2}{2} = \frac{3}{2} \\
a_{50} =& \frac{5 – 2 \cdot 50}{2} = \frac{5-100}{2} = -\frac{95}{2} \\
S_{50} =& \frac{a_1 + a_{50}}{2} \cdot n = \tfrac{\frac{3}{2} – \frac{95}{2}}{2} \cdot 50 = \\
=& -\frac{92}{2} \cdot 25 = -46 \cdot 25 = -1~550 \\
a_{50} =& \frac{5 – 2 \cdot 100}{2} = \frac{5-200}{2} = -\frac{195}{2} \\
S_{100} =& \frac{a_1 + a_{100}}{2} \cdot n = \tfrac{\frac{3}{2} – \frac{195}{2}}{2} \cdot 100 = \\
=& -\frac{192}{2} \cdot 50 = -96 \cdot 50 = -4~800 \\
\end{array}
$$

Teraz, aby obliczyć sumę \(a_{51} + a_{52} + a_{53} + … + a_{99} + a_{100}\) wystarczy odjąć \(S_{100}\) od \(S_{50}\)
$$
S_{100} – S_{50} = -1~550 + 4~800 = \mathbf{\underline{-3\;650}}
$$

Odpowiedź

Suma wyrazów od \(a_{51}\) do \(a_{100}\) wynosi \(-3\;650\).