Zadanie 5.1.4

Liczby log 2, log (x+2), log (x+6) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz x.

Rozwiązanie

Założenia:
$$
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{l}
x+2>0 \\
x+6>0
\end{array}
\right.
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x>-2 \\
x>-6
\end{array}
\right.
\\
\mathbf{\underline{x>-2}}
\end{array}
$$

Stosując warunek wiążący trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, układamy równanie:
$$
\begin{array}{rl}
log (x+2) – log 2 =& log (x+6) – log (x+2) \\
2~log (x+2) =& log (x+6) + log 2 \\
(x+2)^2 =& 2(x+6) \\
x^2 + 4x + 4 =& 2x + 12 \\
x^2 + 2x – 8 =& 0
\end{array}
$$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.
$$
\begin{align}
\Delta &= b^2 – 4ac = 2^2 – 4 cdot (-8) = \\
&= 4 + 32 = 36 \\
\sqrt{\Delta} &= \sqrt{36} = 6 \\
x_1 &= \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 – 6}{2} = \\
&= \frac{-8}{2} = -4 \\
x_2 &= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2} = \\
&= \frac{4}{2} = \mathbf{\underline{2}}
\end{align}
$$

Odrzucamy rozwiązanie \(x = -4\), ponieważ nie spełnia założeń zadania.

Odpowiedź

Dane liczby będą tworzyły ciąg arytmetyczny dla \(x = 2\).