Zadanie 5.1.5

Pole prostokąta jest równe 108 cm². Oblicz długości boków prostokąta wiedząc, że długości tych boków oraz długość przekątnej tworzą ciąg arytmetyczny.

Rozwiązanie

Analizując treść zadania możemy utworzyć trzy równania:
\( a \cdot b = 108 \) — wzór na pole prostokąta
\( d^2 = a^2 + b^2 \) — wzór na długość przekątnej prostokąta
\( b – a = d – b \) — równanie łączące trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego: \( a, b, d\)

Układamy i rozwiązujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi.
$$
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{lrl}
a \cdot b &=& 108 \\
d^2 &=& a^2 + b^2 \\
b – a &=& d – b
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

Z trzeciego równania wyznaczamy \( d \) i podstawiamy do drugiego równania.
$$ d = b – a + b = 2b – a $$
$$
\begin{array}{rl}
(2b – a)^2 =& a^2 + b^2 \\
4b^2 – 4ab + a^2 =& a^2 + b^2 \\
3b^2 – 4ab =& 0 \\
3b^2 – 4 \cdot 108 =& 0 \\
3b^2 – 432 =& 0 ~~ /:3 \\
b^2 =& 144 \\
b =& \mathbf{\underline{12}}
\end{array}
$$

Odrzucamy wartość ujemną \( b = -12 \). Podstawiając \( b = 12 \) do wzoru na pole prostokąta, wyznaczamy długość boku \( a \), a następnie długość przekątnej.
$$
\begin{array}{rl}
a =& \frac{108}{b} = \frac{108}{12} = \mathbf{\underline{9}} \\
d =& \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{81 + 144} = \mathbf{\underline{15}}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Długości boków tego prostokąta to 9 i 12 cm, a długość przekątnej jest równa 15 cm.