Zadanie 5.2.1

Ciąg {x – 3, x + 3, 6x + 2, …} jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że \(\frac{S_{19}}{S_{20}} \le \frac{1}{4}\), gdzie \(S_n\) oznacza sumę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu.

Rozwiązanie

Korzystając z warunku wiążącego 3 kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, obliczamy wartość niewiadomej \(x\).
$$
\begin{array}{rl}
a_n^2 =& a_{n-1} \cdot a_{n+1} \\
(x + 3)^2 =& (x-3)(6x + 2) \\
x^2 + 6x + 9 =& 6x^2 + 2x – 18x – 6 \\
x^2 + 6x + 9 – 6x^2 +16x + 6 =& 0 \\
-5x^2 + 22x + 15 =& 0
\end{array}
$$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem niewiadomej \(x\).
$$
\begin{array}{rl}
\Delta =& b^2 – 4ac = 22^2 – 4 \cdot (-5) \cdot 15 = \\
=& 484 + 300 = 784 \\
\sqrt{\Delta} =& \sqrt{784} = 28 \\
x_1 =& \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-22 – 28}{-10} = \frac{-50}{-10} = \mathbf{\underline{5}} \\
x_2 =& \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-22 + 28}{-10} = \frac{6}{-10} = -\frac{3}{5}
\end{array}
$$

Ponieważ wiemy, że wyrazy ciągu są dodatnie, to odrzucamy wartość \(-\frac{3}{5}\). Dla \(x = 5\) wyznaczamy trzy pierwsze wyrazy ciągu.
$$
\begin{array}{rl}
a_1 =& 5 – 3 = 2 \\
a_2 =& 5 + 3 = 8 \\
a_3 =& 6 \cdot 5 + 2 = 32
\end{array}
$$

Wyznaczamy wartość \(q\) oraz zapisujemy wyrażenia przedstawiające sumę 19-stu i 20-stu wyrazów ciągu:
$$
\begin{array}{rl}
q =& \frac{a_2}{a_1} = \frac{8}{2} = \mathbf{\underline{4}} \\
S_{19} =& a_1 \cdot \frac{1 – q^{19}}{1 – q} = 2 \cdot \frac{1 – 4^{19}}{1 – 4} = 2 \cdot \frac{1 – 4^{19}}{3} \\
S_{20} =& 2 \cdot \frac{1 – 4^{20}}{3}
\end{array}
$$

W kolejnym kroku dowodzimy prawdziwość nierówności z treści zadania.
$$
\require{cancel}
\begin{array}{rl}
\frac{S_{19}}{S_{20}} \lt & \frac{1}{4} \\
\frac{\cancel{2} \cdot \frac{1 – 4^{19}}{\cancel{3}}}{\cancel{2} \cdot \frac{1 – 4^{20}}{\cancel{3}}} \lt & \frac{1}{4} \\
\frac{1 – 4^{19}}{1 – 4^{20}} \lt & \frac{1}{4} ~~ /\cdot 4 ~ /\cdot 1 – 4^{20} \\
4 \cdot \left ( 1 – 4^{19} \right ) &\gt 1 – 4^{20} \\
4 – \cancel{4^{20}} &\gt 1 – \cancel{4^{20}} \\
4 &\gt 1 \\
& \textit{Quod erat demonstrandum}
\end{array}
$$