Zadanie 5.2.2

Liczby \(3^x + \frac{2}{9}; 3^x; 3^{x-1}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(x\).

Rozwiązanie

Na początek stosujemy wzór wiążący trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego.
$$ a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1} $$

Podstawiamy liczby z zadania do tego równania.
$$
\begin{array}{rl}
3^{2x} =& 3^{x-1} \cdot \left(3^x + \frac{2}{9} \right) \\
3^{2x} =& \left(3^x \cdot \frac{1}{3} \right) \cdot \left(3^x + \frac{2}{9} \right) \\
3^{2x} =& \frac{1}{3} 3^{2x} + \frac{2}{27} 3^x \\
\end{array}
$$

W tym momencie w miejsce \(3^x\) podstawiamy zmienną pomocniczą \(t\).
$$
\begin{array}{rl}
t^2 =& \frac{1}{3} t^2 + \frac{2}{27} t \\
t^2 – \frac{1}{3} t^2 – \frac{2}{27} t =& 0 \\
\frac{2}{3} t^2 – \frac{2}{27} t =& 0 ~~ /\cdot \frac{3}{2} \\
t^2 – \frac{2}{27} \cdot \frac{3}{2} t =& 0 \\
t^2 – \frac{1}{9} t =& 0 \\
t \left(t – \frac{1}{9} \right) =& 0 \\
t_1 = 0 ~~ t_2 = \frac{1}{9}
\end{array}
$$

Wracamy do niewiadomej \(x\).
$$
\begin{array}{lcl}
3^x = 0 & ~~ & 3^x = \frac{1}{9} \\
x \in \varnothing & ~~ & 3^x = 3^{-2} \\
~~ & ~~ & \mathbf{\underline{ x = -2}}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Dane liczby będą kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego dla \(x = -2\).