Zadanie 5.2.3

W skończonym ciągu geometrycznym dwa ostatnie wyrazy są równe odpowiednio \(\frac{25}{32}\) oraz \(\frac{25}{64}\). Wiedząc, że suma wszystkich wyrazów tego ciągu wynosi \(199\frac{39}{64}\), wyznacz:
a) wyraz pierwszy tego ciągu
b) liczbę wyrazów tego ciągu.

Rozwiązanie

Łatwo zauważyć, że iloraz ciągu jest równy ½. Do rozwiązania zadania ułożymy układ równań. Pierwsze równanie będzie wzorem na n-ty wyraz ciągu geometrycznego, a drugie na sumę n wyrazów ciągu.

$$
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{lcl}
a_n &=& a_1 \cdot q^{n-1} \\
S_n &=& a_1 \frac{1 – q^n}{1 -q}
\end{array}
\right.
\\
\left \{
\begin{array}{lcl}
\frac{25}{64} &=& a_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \\
\frac{12775}{64} &=& a_1 \frac{1 – (\frac{1}{2})^n}{1 – \frac{1}{2}}
\end{array}
\right.
\\
\left \{
\begin{array}{lcl}
\frac{25}{64} &=& \frac{a_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n}{\frac{1}{2}} ~~ /\cdot \frac{1}{2} \\
\frac{12775}{64} &=& \frac{a_1 – a_1 \cdot (\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}} ~~ /\cdot \frac{1}{2}
\end{array}
\right.
\\
\left \{
\begin{array}{lcl}
\frac{25}{128} &=& a_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \\
\frac{12775}{128} &=& a_1 – a_1 \cdot (\frac{1}{2})^n
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

W tym momencie podstawiamy pierwsze równanie do drugiego i wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$$
\begin{array}{rcl}
\frac{12775}{128} &=& a_1 – \frac{25}{128} \\
\frac{12800}{128} &=& a_1 \\
a_1 &=& \mathbf{\underline{100}}
\end{array}
$$

Teraz wracamy do równania zawierającego niewiadomą \(n\) i wyznaczamy jej wartość.

$$
\begin{array}{rcl}
\frac{25}{128} &=& 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n} ~~ /: 100 \\
\frac{25}{12800} &=& \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \\
\frac{1}{512} &=& \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \\
n &=& \mathbf{\underline{9}}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 100, a liczba wyrazów tego ciągu to 9.