Zadanie 5.2.4

Przyznano kilka nagród, których wartość wynosiła 14 760 zł. Pierwsza nagroda wyniosła 5000 zł, a każda następna była pewnym stałym ułamkiem poprzedniej. Oblicz ile było nagród i jaką wartość miała każda nagroda, jeśli ostatnia wyniosła 2560 zł.

Rozwiązanie

Do rozwiązania tego zadania ułożymy układ równań. Pierwsze równanie będzie wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego, a drugie na sumę \(n\) wyrazów ciągu.

$$
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{lcl}
a_n &=& a_1 \cdot q^{n-1} \\
S_n &=& a_1 \frac{1 – q^n}{1 -q}
\end{array}
\right.
\\
\left \{
\begin{array}{lcl}
2560 &=& 5000 \cdot q^{n-1} ~~ /:10 \\
14760 &=& 5000 \frac{1 – q^n}{1 – q} ~~ /:10
\end{array}
\right.
\\
\left \{
\begin{array}{lcl}
256 &=& \frac{500 \cdot q^n}{q} ~~ /\cdot q \\
1476 &=& \frac{500 – 500 \cdot q^n}{1 – q} ~~ /\cdot (1 – q)
\end{array}
\right.
\\
\left \{
\begin{array}{lcl}
256q &=& 500 \cdot q^n \\
1476 (1 – q) &=& 500 – 500 \cdot q^n
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

Podstawiamy pierwsze równanie do drugiego i wyznaczamy iloraz ciągu geometrycznego.
$$
\begin{array}{rcl}
1476 (1 – q) &=& 500 – 256q \\
1476 – 1476q &=& 500 – 256q \\
1476 – 500 &=& 1476q – 256q \\
976 &=& 1220q \\
q &=& \mathbf{\underline{\frac{4}{5}}}
\end{array}
$$

Ostatecznie obliczamy wartości pozostałych nagród.
$$
\begin{array}{rcl}
a_2 &=& 5000 \cdot \frac{4}{5} = 4000 \\
a_3 &=& 4000 \cdot \frac{4}{5} = 3200 \\
a_4 &=& 3200 \cdot \frac{4}{5} = 2560
\end{array}
$$