Zadanie 5.3.1

Ciąg (4, x, y) jest ciągiem geometrycznym malejącym. Ciąg (y, x + 1, 5) jest ciągiem arytmetycznym. Wyznacz x.

Rozwiązanie

Stosujemy wzory na wiązek pomiędzy sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego oraz arytmetycznego.
$$
\begin{array}{rclrr}
a_n^2 &=& a_{n-1} \cdot a_{n+1} & \text{dla } n \ge 2 & \text{ (c. geometryczny)} \\
a_n &=& \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} & \text{dla } n \ge 2 & \text{ (c. arytmetyczny)}
\end{array}
$$

Następnie układamy i rozwiązujemy układ równań.
$$
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 = 4y \\
x + 1 = \frac{y+5}{2}
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

W pierwszej kolejności przekształcamy drugie równanie i wyznaczamy z niego \(y\), który podstawiamy do pierwszego równania.
$$
\begin{array}{rl}
x + 1 =& \frac{y+5}{2} \; /\cdot 2 \\
2x + 2 =& y + 5 \\
y =& 2x – 3
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{rl}
x^2 =& 4(2x – 3) \\
x^2 =& 8x – 12 \\
x^2 – 8x + 12 =& 0
\end{array}
$$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.
$$
\begin{array}{rl}
\Delta =& b^2 – 4ac = 8^2 – 4 \cdot 12 = \\
=& 64 – 48 = 16 \\
\sqrt{\Delta} =& \sqrt{16} = 4 \\
x_1 =& \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 – 4}{2} = \mathbf{\underline{2}} \\
x_2 =& \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 + 4}{2} = 6 \\
y_1 =& 2 \cdot 2 – 3 = \mathbf{\underline{1}} \\
y_2 =& 2 \cdot 6 – 3 = 9
\end{array}
$$

Tylko \(x = 2\) i \(y = 1\) spełniają warunki zadania, ponieważ wtedy ciąg geometryczny \((4, 2, 1)\) jest malejący.

Odpowiedź

Niewiadoma \(x\) jest równa 2.

You may also like...

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *