Zadanie 5.3.1

Ciąg (4, x, y) jest ciągiem geometrycznym malejącym. Ciąg (y, x + 1, 5) jest ciągiem arytmetycznym. Wyznacz x.

Rozwiązanie

Stosujemy wzory na wiązek pomiędzy sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego oraz arytmetycznego.
$$
\begin{array}{rclrr}
a_n^2 &=& a_{n-1} \cdot a_{n+1} & \text{dla } n \ge 2 & \text{ (c. geometryczny)} \\
a_n &=& \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} & \text{dla } n \ge 2 & \text{ (c. arytmetyczny)}
\end{array}
$$

Następnie układamy i rozwiązujemy układ równań.
$$
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 = 4y \\
x + 1 = \frac{y+5}{2}
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

W pierwszej kolejności przekształcamy drugie równanie i wyznaczamy z niego \(y\), który podstawiamy do pierwszego równania.
$$
\begin{array}{rl}
x + 1 =& \frac{y+5}{2} \; /\cdot 2 \\
2x + 2 =& y + 5 \\
y =& 2x – 3
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{rl}
x^2 =& 4(2x – 3) \\
x^2 =& 8x – 12 \\
x^2 – 8x + 12 =& 0
\end{array}
$$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.
$$
\begin{array}{rl}
\Delta =& b^2 – 4ac = 8^2 – 4 \cdot 12 = \\
=& 64 – 48 = 16 \\
\sqrt{\Delta} =& \sqrt{16} = 4 \\
x_1 =& \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 – 4}{2} = \mathbf{\underline{2}} \\
x_2 =& \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 + 4}{2} = 6 \\
y_1 =& 2 \cdot 2 – 3 = \mathbf{\underline{1}} \\
y_2 =& 2 \cdot 6 – 3 = 9
\end{array}
$$

Tylko \(x = 2\) i \(y = 1\) spełniają warunki zadania, ponieważ wtedy ciąg geometryczny \((4, 2, 1)\) jest malejący.

Odpowiedź

Niewiadoma \(x\) jest równa 2.