Zadanie 5.3.2

Ciąg \(a_n\) jest określony wzorem \(a_n = 2n^2 + 2n\) dla \(n≥1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Rozwiązanie

Wyznaczamy dwa kolejne wyrazy ciągu \(a_n\)
$$
\begin{array}{ll}
a_n &= 2n^2 + 2n \\
a_{n+1} &= 2(n+1)^2 + 2(n+1) = \\
&= 2(n^2 + 2n + 1) + 2n + 2 = \\
&= 2n^2 + 6n + 4
\end{array}
$$

Teraz wyznaczamy sumę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu
$$
\begin{array}{ll}
a_n + a_{n+1} &= 2n^2 + 2n + 2n^2 + 6n + 4 = \\
&= 4n^2 + 8n + 4 = (2n + 2)^2 \\
& \textit{Quod erat demonstrandum}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Dla dowolnej liczby naturalnej \(n≥1\) suma dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu będzie kwadratem liczby naturalnej.