Zadanie 7.1

W trapezie ABCD odcinki AB i DC są podstawami. Pole trapezu ABCD jest równe 130 cm². Na ramieniu AD zaznaczono punkt E, a na ramieniu BC – punkt F, w taki sposób, że trapez EFCD jest podobny do trapezu ABFE. Wiedząc, że |EF|=12 cm oraz pole trapezu EFCD jest o 50 cm² mniejsze od pola trapezu ABFE, oblicz:
a) długość podstaw AB i CD trapezu ABCD;
b) długość wysokości trapezu ABCD.

Rysunek do zadania

Rozwiązanie

Ad a)

Tworzymy układ równań z informacjami o polach trapezów:
$$
\left \{
\begin{array}{l}
P_2 = P_1 – 50 \\
P_1 + P_2 = 130
\end{array}
\right.
$$

Po rozwiązaniu układu, wiemy jakie pole mają trapezy ABFE i EFCD.
$$
\left \{
\begin{array}{l}
P_2 = P_1 – 50 \\
P_1 + P_1 – 50 = 130
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\begin{array}{l}
2P_1 = 180 \\
P_1 = 90 \ P_2 = 40
\end{array}
$$

Skoro trapezy te są do siebie podobne, to zachodzi zależność:
$$
\begin{array}{rl}
k^2 =& \frac{P_1}{P_2} = \frac{90}{40} = \frac{9}{4} \\
k =& \frac{3}{2}
\end{array}
$$

Znając współczynnik podobieństwa \(k\), obliczamy długość górnej i dolnej podstawy trapezu:
$$
\begin{array}{rl}
\frac{|AB|}{|EF|} =& \frac{3}{2} \\
\frac{|AB|}{12} =& \frac{3}{2} \\
2|AB| =& 36 \\
|AB| =& \mathbf{\underline{18}}
\end{array}
~~~~~~~~
\begin{array}{rl}
\frac{|EF|}{|DC|} =& \frac{3}{2} \\
\frac{12}{|DC|} =& \frac{3}{2} \\
24 =& 3|DC| \\
|CD| =& \mathbf{\underline{8}}
\end{array}
$$

Ad b)

Znając długości podstaw trapezu ABCD i jego pole, przekształcamy wzór na pole i obliczamy wysokość trapezu.
$$
\begin{array}{rl}
P =& \frac{1}{2}(|AB|+|DC|) \cdot |DG| \\
130 =& \frac{1}{2}(18+8) \cdot |DG| \\
130 =& 13 \cdot |DG| ~~ /:13 \\
|DG| =& \mathbf{\underline{10}}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Długość podstawy AB wynosi 18, podstawa CD ma 8, a wysokość trapezu jest równa 10.