Zadanie 7.2

W trapezie równoramiennym ABCD ramię ma długość 10. Obwód tego trapezu jest równy 40. Wiedząc, że tangens kąta ostrego w trapezie ABCD jest równy ¾, oblicz długości jego podstaw.

Rysunek do zadania

Rozwiązanie

Z treści zadania wiemy, że:
\(Obw = 40\)
\(tg{\alpha} = \frac{3}{4} = \frac{DE}{AE}\)
\(AD = BC = 10\)

Układamy układ dwóch równań: pierwsze z własności trygonometrycznych, a drugie z twierdzenia Pitagorasa.
$$
\begin{array}{}
\left \{
\begin{array}{}
\frac{DE}{AE} = \frac{3}{4} \\
AE^2 + DE^2 = 10^2
\end{array}
\right.
\\
\left \{
\begin{array}{}
E = \frac{3}{4} AE \\
AE^2 + DE^2 = 100
\end{array}
\right.
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{rl}
AE^2 + \left( \frac{3}{4} AE \right)^2 =& 100 \\
AE^2 + \frac{9}{16} AE^2 =& 100 \\
\frac{25}{16} AE^2 =& 100 \\
\frac{5}{4} AE =& 10 \\
AE =& 10 \cdot \frac{4}{5} = 8
\end{array}
$$

Skoro trapez jest równoramienny, to AE = FB = 8 oraz CD = EF. Obliczamy długości podstaw AB i CD.
$$
\begin{array}{rl}
AB + CD + 10 + 10 =& 40 \\
AB + CD =& 20 \\
AE + EF + FB + CD =& 20 \\
8 + EF + 8 + CD =& 20 \\
2CD =& 20 – 16 \\
2CD =& 4 \\
CD =& \mathbf{\underline{2}} \\
AB =& 8 + 2 +8 = \mathbf{\underline{18}}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Podstawa AB tego trapezu ma długość 18, natomiast postawa CD ma długość 2.

You may also like...

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *