Zadanie 7.2

W trapezie równoramiennym ABCD ramię ma długość 10. Obwód tego trapezu jest równy 40. Wiedząc, że tangens kąta ostrego w trapezie ABCD jest równy ¾, oblicz długości jego podstaw.

Rysunek do zadania

Rozwiązanie

Z treści zadania wiemy, że:
\(Obw = 40\)
\(tg{\alpha} = \frac{3}{4} = \frac{DE}{AE}\)
\(AD = BC = 10\)

Układamy układ dwóch równań: pierwsze z własności trygonometrycznych, a drugie z twierdzenia Pitagorasa.
$$
\begin{array}{}
\left \{
\begin{array}{}
\frac{DE}{AE} = \frac{3}{4} \\
AE^2 + DE^2 = 10^2
\end{array}
\right.
\\
\left \{
\begin{array}{}
E = \frac{3}{4} AE \\
AE^2 + DE^2 = 100
\end{array}
\right.
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{rl}
AE^2 + \left( \frac{3}{4} AE \right)^2 =& 100 \\
AE^2 + \frac{9}{16} AE^2 =& 100 \\
\frac{25}{16} AE^2 =& 100 \\
\frac{5}{4} AE =& 10 \\
AE =& 10 \cdot \frac{4}{5} = 8
\end{array}
$$

Skoro trapez jest równoramienny, to AE = FB = 8 oraz CD = EF. Obliczamy długości podstaw AB i CD.
$$
\begin{array}{rl}
AB + CD + 10 + 10 =& 40 \\
AB + CD =& 20 \\
AE + EF + FB + CD =& 20 \\
8 + EF + 8 + CD =& 20 \\
2CD =& 20 – 16 \\
2CD =& 4 \\
CD =& \mathbf{\underline{2}} \\
AB =& 8 + 2 +8 = \mathbf{\underline{18}}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Podstawa AB tego trapezu ma długość 18, natomiast postawa CD ma długość 2.

You may also like...

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *