Zadanie 8.1.1

Punkty A=(-9, 1) i B=(8, -5) to kolejne wierzchołki rombu ABCD. Przekątna AC tego rombu jest zawarta w prostej o równaniu \(y = \frac{2}{3}x + 7\). Oblicz współrzędne wierzchołka D oraz obwód tego rombu.

Rysunek do zadania

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do \(y = \frac{2}{3}x + 7\) i przechodzącej przez punkt B=(8, -5). Korzystamy z warunku prostopadłości dwóch prostych:
$$
\begin{array}{rl}
a_1 \cdot a_2 =& -1 \\
\tfrac{2}{3} \cdot a_2 =& -1 \\
a_2 =& -\tfrac{3}{2}
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{rl}
y =& -\tfrac{3}{2}x + b \\
-5 =& -\tfrac{3}{2} \cdot 8 + b \\
-5 =& -12 + b \\
b =& 12 – 5 = 7
\end{array}
\\
y = -\tfrac{3}{2}x + 7
$$

Następnie obliczamy długość odcinka AB.
$$
\begin{array}{rl}
|AB| =& \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} = \\
=& \sqrt{(8+9)^2 + (-5-1)^2} = \\
=& \sqrt{(8+9)^2 + (-5-1)^2} = \\
=& \sqrt{289 + 36} = \\
=& \sqrt{325} = 5\sqrt{13}
\end{array}
$$

Współrzędne punktu D wyznaczymy rozwiązując układ dwóch równań. Pierwsze z nich będzie równaniem na długość odcinka AD, który musi być równy \(5\sqrt{13}\), a drugie będzie równaniem prostej \(y = -\tfrac{3}{2}x + 7\) przechodzącej przez punkt D.
$$
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{lrl}
|AD| &=& \sqrt{(x_D + 9)^2 + (y_D – 1)^2} \\
y_D &=& -\tfrac{3}{2}x_D + 7 \\
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

Podstawiamy drugie równanie do pierwszego i wyznaczamy współrzędne punktu D na osi OX, a następnie na osi OY.
$$
\require{cancel}
\begin{array}{rl}
5\sqrt{13} =& \sqrt{(x_D + 9)^2 + (-\tfrac{3}{2}x_D + 7 – 1)^2} ~~ / ~ ^2 \\
325 =& x^2_D + 18x_D + 81 + (6 – \tfrac{3}{2}x_D)^2 \\
325 =& x^2_D + \cancel{18x_D} + 81 + 36 – \cancel{18x_D} + \tfrac{9}{4}x^2_D \\
325 – 81 – 36 =& \tfrac{13}{4}x^2_D \\
208 =& \tfrac{13}{4}x^2_D ~~ / \cdot \tfrac{4}{13} \\
x^2_D =& 208 \cdot \tfrac{4}{13} = 64 \\
x_{D1} =& 8 \\
x_{D2} =& \mathbf{\underline{-8}} \\
y_{D1} =& -\tfrac{3}{2} \cdot 8 + 7 = -12 + 7 = -5 \\
y_{D2} =& -\tfrac{3}{2} \cdot (-8) + 7 = 12 + 7 = \mathbf{\underline{19}}
\end{array}
$$

Odrzucamy współrzędne (8, -5), bo są to współrzędne punktu B. Na koniec obliczamy obwód rombu.
$$ Obw = 4 \cdot 5\sqrt{13} = \mathbf{\underline{20\sqrt{13}}} $$

Odpowiedź

Współrzędne wierzchołka D to (-8, 19), a obwód rombu wynosi \(20\sqrt{13}\).