Zadanie 8.1.2

Punkty A=(-2,4), B=(-2,-2), C=(5,-3), D=(1,4) to wierzchołki czworokąta. Oblicz współrzędne przecięcia przekątnych tego czworokąta.

Rysunek do zadania

Rozwiązanie

Wyznaczamy równania dwóch prostych: prostej przechodzącej przez punkty AC i prostej przechodzącej przez punkty BD.
$$
\begin{array}{}
AC: & (y – y_A)(x_C – x_A)-(y_C – y_A)(x – x_A) = 0 \\
& (y-4)(5+2)-(-3-4)(x+2) = 0 \\
& 7y – 28 + 7x + 14 = 0 \\
& 7y = -7x + 14 ~~ /:7 \\
& y = -x + 2
\\
BD: & (y – y_B)(x_D – x_B)-(y_D – y_B)(x – x_B) = 0 \\
&(y-4)(-2-1)-(-2-4)(x-1) = 0 \\
& -3y + 12 + 6x – 6 = 0 \\
& -3y = -6x – 6 ~~ /:(-3) \\
& y = 2x + 2
\end{array}
$$

Gdy chcemy wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych, wystarczy rozwiązać układ równań zawierający równania tych prostych.
$$
\left\{
\begin{array}{}
y = -x + 2 \\
y = 2x + 2
\end{array}
\right.
$$
$$
\begin{array}{rl}
-x + 2 =& 2x + 2 \\
-3x =& 0 \\
x =& \mathbf{\underline{0}} \\
y =& 2 \cdot 0 + 2 = \mathbf{\underline{2}}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta to (0, 2).