Zadanie 8.1.3

Dla jakich wartości parametru m proste o równaniach (m+1)x – my – 4 = 0 i 3x + (2-m)y – 6m = 0 przecinają się w punkcie leżącym na osi OX?

Rozwiązanie

W pierwszym etapie wyznaczamy takie \(x\), dla którego proste przetną oś OX. Będzie to miało miejsce wtedy, gdy współrzędna \(y\) będzie równa 0.
$$
\begin{array}{rl}
(m+1)x – 4 =& 0 \\
x =& \frac{4}{m+1}
\end{array}
~~~~
\begin{array}{rl}
3x – 6m =& 0 \\
x =& \frac{6m}{3} = 2m
\end{array}
$$

Jeśli chcemy, aby przecięcie tych prostych miało miejsce w tym samym punkcie na osi OX, to współrzędne \(x\) muszą mieć tą samą wartość. Odpowiedź dla jakiej wartości parametru \(m\) proste przetną się w jednym punkcie na osi OX, otrzymamy przyrównując do siebie wyznaczone wartości \(x\).
$$
\begin{array}{rl}
\frac{4}{m+1} =& 2m \\
4 =& 2m (m+1) \\
4 =& 2m^2 + 2m ~~ /:2 \\
m^2 + m – 2 =& 0
\end{array}
$$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe z niewiadomą \(m\).
$$
\begin{array}{rl}
\Delta =& b^2 – 4ac = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-2) = \\
=& 1 + 8 = 9 \\
\sqrt{\Delta} =& \sqrt{9} = 3 \\
m_1 =& \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 – 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \\
m_2 =& \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1
\end{array}
$$

Odpowiedź

Dane proste przetną się w jednym punkcie na osi OX dla \(m = -2\) lub \(m = 1\).