Zadanie 8.2.1

Punkty A(1,7), B(-5,1), C(7,-5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Oblicz odległość między środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie a środkiem ciężkości tego trójkąta.

Rysunek do zadania

Środek okręgu opisanego na trójkącie jest to punkt, w którym przecinają się symetralne boków trójkąta. Symetralna jest to linia prosta przechodząca przez środek danego odcinka (w tym wypadku boku) i prostopadła do niego. Na rysunku narysowano dwie symetralne (linie kropkowane), a miejsce ich przecięcia oznaczono literą \(O\).

Środek ciężkości trójkąta jest to punkt, w którym przecinają się środkowe trójkąta. Środkowa trójkąta jest to odcinek łączący wierzchołek trójkąta z środkiem przeciwległego boku. Na rysunku narysowano dwie środkowe (linie kreskowane), a miejsce ich przecięcia oznaczono literą \(M\).

Rozwiązanie

Zacznijmy od wyznaczenia środków boków trójkąta.
$$
\begin{array}{l}
S_A = (\frac{-5 + 7}{2} , \frac{1 – 5}{2}) = (1, -2) \\
S_B = (\frac{1 + 7}{2} , \frac{7 – 5}{2}) = (4, 1) \\
S_C = (\frac{1 – 5}{2} , \frac{1 + 7}{2}) = (-2, 4)
\end{array}
$$

Następnie wyznaczamy równania prostych przechodzących przez wierzchołki \(A\) i \(B\) oraz \(B\) i \(C\).
$$
\begin{array}{l}
\left \{
\begin{array}{l}
7 = a + b \\
1 = -5a + b
\end{array}
\right.
\\
\left \{
\begin{array}{l}
b = 7 – a \\
b = 1 + 5a
\end{array}
\right.
\\
\begin{array}{rl}
7 – a =& 1 + 5a \\
-6a =& -6 \\
a =& 1 \\
b =& 7 – 1 = 6
\\ &
\end{array}
\\
\mathbf{\underline{y_{AB} = x + 6}}
\end{array}
~~~~
\begin{array}{l}
\left \{
\begin{array}{l}
1 = -5a + b \\
-5 = 7a + b
\end{array}
\right.
\\
\left \{
\begin{array}{l}
b = 1 + 5a \\
b = -5 – 7a
\end{array}
\right.
\\
\begin{array}{rl}
1 + 5a =& -5 – 7a \\
12a =& -6 \\
a =& -\frac{1}{2} \\
b =& 1 + 5 \cdot (-\frac{1}{2}) = \\
=& 1 – \frac{5}{2} = -\frac{3}{2}
\end{array}
\\
\mathbf{\underline{y_{BC} = -\frac{1}{2}x -\frac{3}{2}}}
\end{array}
$$

Stosując warunek prostopadłości prostych (\(a_1 \cdot a_2 = -1\)) wyznaczamy równania prostych prostopadłych do \(y_{AB}\) i \(y_{BC}\) przechodzących odpowiednio przez punkty \(S_C\) i \(S_A\).
$$
\begin{array}{l}
\begin{array}{rl}
y_{SC} =& -x + b \\
S_C =& (-2, 4) \\
4 =& 2 + b \\
b =& 2
\end{array} \\
\mathbf{\underline{y_{SC} = -x + 2}}
\end{array}
~~~~
\begin{array}{l}
\begin{array}{rl}
y_{SA} =& 2x + b \\
S_A =& (1, -2) \\
-2 =& 2 + b \\
b =& -4
\end{array} \\
\mathbf{\underline{y_{SA} = 2x – 4}}
\end{array}
$$

Jeśli chcemy wyznaczyć punkt przecięcia symetralnych, to wystarczy rozwiązać ich układ równań.
$$
\left \{
\begin{array}{l}
y = -x + 2 \\
y = 2x – 4
\end{array}
\right.
\\
\begin{array}{rl}
-x + 2 =& 2x – 4 \\
-3x =& -6 \\
x =& 2 \\
y =& -2 + 2 = 0 \\
\end{array}
\\
\mathbf{\underline{O = (2, 0)}}
$$

Wyznaczenie punktu przecięcia środkowych boków tego trójkąta będzie mniej pracochłonne. Ponieważ \(A = (1, 7)\) a \(S_A = (1, -2)\), to równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(S_A\) będzie miało postać: \(x = 1\). Z kolei ponieważ \(B = (-5, 1)\) a \(S_B = (4, 1)\), to równanie prostej przechodzącej przez punkty \(B\) i \(S_B\) będzie miało postać: \(y = 1\). Stąd łatwo zauważyć, że te proste przetną się w punkcie \(M = (1, 1)\).

Na koniec obliczamy długość odcinka \(|OM|\).
$$
\begin{array}{rl}
|OM| =& \sqrt{(x_M – x_O)^2 + (y_M – y_O)^2} = \\
=& \sqrt{(1 – 2)^2 + (1 – 0)^2} = \\
=& \sqrt{1 + 1} = \mathbf{\underline{\sqrt{2}}}
\end{array}
$$

Odpowiedź

Odległość między środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie a środkiem ciężkości tego trójkąta wynosi \(\sqrt{2}\).