Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów

Szukamy funkcji aproksymującej \(Q(x)\) dowolnego stopnia, która będzie jak najdokładniej odzwierciedlać funkcję daną w postaci tabelarycznej:

punkty	1	2	…	i	…	n
x	x1	x2	…	xi	…	xn
y=f(x)	y1	y2	…	yi	…	yn

Rozwiązanie teoretyczne

Określamy rząd \(m\) funkcji aproksymującej, który z kolei będzie wyznaczał ilość elementów wektorów S i T:
$$ S_k =\sum_{i=0}^{n}x_i^k ~~~~ dla ~~ k = 0, 1, \ldots, 2m $$

$$ T_k =\sum_{i=0}^{n}(x_i^k \cdot y_i) ~~~~ dla ~~ k = 0, 1, \ldots, m $$

Tak więc, jeżeli rząd \(m\) funkcji aproksymującej (Q(x)) będzie równy np. 2, to wektor S będzie zawierał pięć elementów, natomiast wektor T – trzy. Innymi słowy rząd funkcji aproksymującej jest zawsze o 1 większy w stosunku do ilości współczynników tejże funkcji. Współczynniki te zostaną obliczone z poniższego układu równań.

Z elementów wektorów S i T tworzymy układ równań w następujący sposób:

$$
\begin{bmatrix} S_0 & S_1 & S_2 & \cdots & S_m \\
S_1 & S_2 & S_3 & \cdots & S_{m+1} \\
S_2 & S_3 & S_4 & \cdots & S_{m+2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
S_m & S_{m+1} & S_{m+2} & \cdots & S_{m \cdot 2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ \vdots\ a_m \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} T_0 \\ T_1 \\ T_2 \\ \vdots\ T_m \end{bmatrix}
$$

Rozwiązując powyższy układ równań wyznaczamy współczynniki funkcji aproksymującej:
$$ Q(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_m x^m $$