Interpolacja z zastosowaniem wielomianu Lagrange'a

Szukamy funkcji interpolacyjnej stopnia \(n\)—tego \(L_n(x)\), która będzie przechodzić przez \(n\) węzłów podanych w postaci tabelarycznej:

węzły	1	2	…	i	…	n
x	x1	x2	…	xi	…	xn
y=f(x)	y1	y2	…	yi	…	yn

Rozwiązanie teoretyczne

Należy zastosować wzór interpolacyjny Lagrange’a. Wzór funkcji interpolacyjnej (tzw. wielomian Lagrange’a) wyraża się zależnością:

$$ L_n (x) = \sum_{i=1}^{n} y_n \left ( \prod_{\substack{j=1 \ {j}\neq{i}}}^{n} \frac{(x-x_j)}{(x_i – x_j)} \right ) $$

Jeśli przyjmiemy \(x\) jako liczbę, to otrzymamy wartość funkcji interpolacyjnej w tym punkcie \(y_0 = f(x_0)\). Powyższy wzór niestety nie pozwala na wyznaczenie szukanej funkcji w postaci jawnej \(y=f(x)\), ponieważ zmienna \(x\) znajduje się wewnątrz iloczynu. W celu uzyskania analitycznej postaci funkcji należy pisemnie wykonać odpowiednie przekształcenia algebraiczne ciągu:

$$ \frac {(x-x_1)}{(x_1-x_1)} \cdot \ldots \cdot \frac{(x-x_n)}{(x_i-x_n)} $$

Następnie podobne przekształcenia pisemne należy zastosować do ciągu sum.

Stosując wzór interpolacyjny Lagrange’a należy pamiętać, że funkcja \(L_n(x)\) dla argumentów leżących poza węzłami może zwracać wartości diametralnie różne od oczekiwanych. Zwiększanie liczby węzłów pozwala na ogół również podnieść dokładność interpolacji, ale z kolei przy zbyt wielu węzłach wielomiany interpolacyjne na ogół wykazują silne oscylacje i nie dają pewności zbieżności do szukanej funkcji.