Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą eliminacji Gaussa

Dany jest układ równań liniowych \(n\)-tego stopnia:
$$
\begin{matrix}
a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_n = b_1 \\
a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots + a_{2n} x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \ldots + a_{nn} x_n = b_n
\end{matrix}
$$

lub w zapisie macierzowym: AX = B
Należy rozwiązać układ równań, tzn. wyznaczyć niewiadome \(x_1, \ldots, x_n\).

Rozwiązanie teoretyczne

Do rozwiązania problemu zastosowany zostanie algorytm kolejnych eliminacji opracowany przez Carla Friedricha Gaussa. W tym celu oznaczamy układ wyjściowy numerem pierwszym: A(1)X = B(1)

Odejmując od \(i\)–tego wiersza układu gdzie \(i = 2, 3, …, n\), pierwszy wiersz pomnożony przez \(\frac{a_{i1}^{(1)}}{a_{11}^{(1)}}\) otrzymujemy układ A(2)X = B(2) postaci:

$$
\begin{array}{rl}
a_{11}^{(2)} x_1 + a_{12}^{(2)} x_2 + \ldots + a_{1n}^{(2)} x_n &= b_1^{(2)} \\
a_{22}^{(2)} x_2 + \ldots + a_{2n}^{(2)} x_n &= b_2^{(2)} \\
\vdots \\
a_{n2}^{(2)} x_2 + \ldots + a_{nn}^{(2)} x_n &= b_n^{(2)}
\end{array}
$$

W ten sposób pozbywamy się niewiadomej \(x_1\) z równań w wierszach \(2, 3, …, n\).

W podobny sposób eliminujemy niewiadomą \(x_2\) z wierszy \(3, 4, …, n\) odejmując od \(i\)-tego wiersza \((i = 3, 4, …, n)\) wiersz drugi pomnożony przez \(\frac{a_{i 2}^{(2)}}{a_{22}^{(2)}}\).

Po \(n-1\) kroków otrzymujemy układ A(n)X = B(n) w postaci:
$$
\begin{array}
a_{11}^{(n)} x_1 + a_{12}^{(n)} x_2 + \ldots+ a_{1n}^{(n)} x_n &= b_1^{(n)} \\
a_{22}^{(n)} x_2 + \ldots + a_{2n}^{(n)} x_n &= b_2^{(n)} \\
\vdots \\
a_{nn}^{(n)} x_n &= b_n^{(n)}
\end{array}
$$

Z ostatniego równania wyznaczamy niewiadomą \(x_n\), a następnie kolejne niewiadome według wzoru rekurencyjnego:
$$
x_i = \frac{b_i – a_{i n} x_n – \ldots – a_{ii+1} x_{i+1}}{a_ii} \\
gdzie ~~ i = n-1, n-2, …, 1
$$

Przedstawiona metoda pozwala rozwiązać układ równań \(n\)-tego rzędu wykonując \(n!\) działań. W przeciwieństwie do metody wyznacznikowej Cramera nie daje jednak informacji, czy układ równań jest układem oznaczonym, nieoznaczonym lub sprzecznym.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *